Question

圖1是邊長分別為4和3的兩個等邊三角形紙片ABC和C'D'E'疊放在一起（C與C'重合）。
（1）操作：固定△ABC，將△C'D'E'繞點C順時針旋轉30°得到△CDE，連結AD、BE，CE的延長線交AB于F（圖2）；
探究：在圖2中，線段BE與AD之間有怎樣的大小關系？試證明你的結論。
（2）操作：將圖2中的△CDE，在線段CF上沿著CF方向以每秒1個單位的速度平移，平移后的△CDE設為△PQR（圖3）；
請問：經過多少時間，△PQR與△ABC重疊部分的面積恰好等于？
（3）操作：圖1中△C'D'E'固定，將△ABC移動，使頂點C落在C'E'的中點，邊BC交D'E'于點M，邊AC交D'C'于點N，設∠ACC'=α（30°＜α＜90，圖4）；
探究：在圖4中，線段C'N·E'M的值是否隨α的變化而變化？如果沒有變化，請你求出C'N·E'M的值，如果有變化，請你說明理由。

Answer 1

解：（1）BE=AD 證明：∵△ABC與△DCE是等邊三角形
∴∠ACB=∠DCE=60° CA=CB，CE=CD
∴∠BCE=∠ACD
∴△BCE≌△ACD ∴ BE=AD（也可用旋轉方法證明BE=AD）
（2）設經過x秒重疊部分的面積是，如圖3在△CQT中
∵∠TCQ=30° ∠RQP=60° ∴∠QTC=30° ∴∠QTC=∠TCQ
∴QT=QC=x  ∴ RT=3-x
∵∠RTS+∠R=90° ∴∠RST=90°
由已知得×3² -（3-x）²=
x₁=1，x₂=5，因為0≤x≤3，所以x=1
答：經過1秒重疊部分的面積是
（3）C'N·E'M的值不變
證明：∵∠ACB=60°  ∴∠MCE'+∠NCC'=120°
∵∠CNC'+∠NCC'=120° ∴∠MCE'=∠CNC'
∵∠E'=∠C'   ∴△E'MC∽△C'CN
∴   ∴C'N·E'M=C'C·E'C=×=