Question

已知拋物線頂點(diǎn)D （0，），且經(jīng)過點(diǎn)A（1，）．
（1）求這條拋物線的解析式；
（2）點(diǎn)F是坐標(biāo)原點(diǎn)O關(guān)于該拋物線頂點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，坐標(biāo)為（0，）．我們可以用以下方法求線段FA的長(zhǎng)度；過點(diǎn)A作AA₁⊥x軸，過點(diǎn)F作x軸的平行線，交AA₁于A₂，則FA₂=1，A₂A=-=，在Rt△AFA₂中，有FA==．已知拋物線上另一點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為2，求線段FB的長(zhǎng)；
（3）若點(diǎn)P是該拋物線在第一象限上的任意一點(diǎn)，試探究線段FP的長(zhǎng)度與點(diǎn)P縱坐標(biāo)的大小關(guān)系，并證明你的猜想．

Answer 1

解：（1）設(shè)拋物線頂點(diǎn)式：y=a（x-h）²+k，
∵拋物線頂點(diǎn)D （0，），且經(jīng)過點(diǎn)A（1，）．
∴a（1-0）²+=，
解得a=2，
∴這條拋物線的解析式為y=2x²+；

（2）∵點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為2，∴點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為，
過點(diǎn)B作BB₁⊥x軸，過點(diǎn)F作x軸的平行線，交BB₁于B₂，
∴FB₂=2，B₂B=-=，
在Rt△BFB₂中，∴FB===．

（3）相等，理由如下：
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（a，2a²+），
過點(diǎn)P作PP₁⊥x軸，過點(diǎn)F作x軸的平行線，交PP₁于P₂，
∴FP₂=a，P₂P=2a²+-=2a²-，
在Rt△PFP₂中，∴FP====2a²+．
∴線段FP的長(zhǎng)度與點(diǎn)P縱坐標(biāo)相等．
分析：（1）根據(jù)題意設(shè)拋物線頂點(diǎn)式：y=a（x-h）²+k，再將AD兩點(diǎn)代入即可得出這條拋物線的解析式；
（2）先將點(diǎn)B的橫坐標(biāo)代入拋物線解析式，求出縱坐標(biāo)，過點(diǎn)B作BB₁⊥x軸，過點(diǎn)F作x軸的平行線，交BB₁于B₂，求得FB₂=2，B₂B，在Rt△BFB₂中，由勾股定理求出FB=．
（3）
點(diǎn)評(píng)：本題是一道綜合性的題目，考查了用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，勾股定理二次函數(shù)的頂點(diǎn)式等知識(shí)點(diǎn)的綜合運(yùn)用，難度較大．