Question

如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，且AB=AC，∠ABC=∠ACB=45°，點D是AC的中點，AE⊥BD于點F，交BC于點E，連接DE．
求證：（1）∠BAF=∠ADB；
（2）∠ADB=∠EDC．

Answer 1

（1）證明：∵∠BAC=90°，
∴∠BAF+∠DAF=90°，
∵AE⊥BD，
∴∠AFD=90°，
∴∠DAF+∠ADB=90°，
∴∠BAF=∠ADB．


（2）證明：過C作CM⊥AC，交AE的延長線于M，
則∠ACM=90°=∠BAC，
∴CM∥AB，
∴∠MCE=∠ABC=∠ACB，
∵∠BAF=∠ADB，∠ADB+∠FAD=90°，∠ABD+∠BAF=90°，
∴∠ABD=∠CAM，
在△ABD和△CAM中
∵，
∴△ABD≌△CAM（ASA），
∴∠ADB=∠M，AD=CM，
∵D為AC中點，
∴AD=DC=CM，
在△CDE和△CME中，
∵，
∴△CDE≌△CME（SAS），
∴∠M=∠EDC，
∵∠M=∠ADB，
∴∠ADB=∠EDC．
分析：（1）根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得出∠BAF+∠DAF=90°，∠DAF+∠ADB=90°，推出即可；
（2）過C作CM⊥AC，交AE的延長線于M，推出CM∥AB，推出∠MCE=∠ABC=∠ACB，求出∠ABD=∠CAM，證△ABD≌△CAM，推出∠ADB=∠M，AD=CM=AD，證△CDE≌△CME，推出∠M=∠EDC即可．
點評：本題考查了全等三角形的性質和判定，平行線的性質和判定，三角形的內(nèi)角和定理等知識點的綜合運用，題目綜合性比較強，有一定的難度．