Question

（2010•蘭州）已知平行四邊形ABCD中，對角線AC和BD相交于點O，AC=10，BD=8．
（1）若AC⊥BD，試求四邊形ABCD的面積；
（2）若AC與BD的夾角∠AOD=60°，求四邊形ABCD的面積；
（3）試討論：若把題目中“平行四邊形ABCD”改為“四邊形ABCD”，且∠AOD=θ，AC=a，BD=b，試求四邊形ABCD的面積（用含θ，a，b的代數(shù)式表示）．

Answer 1

【答案】分析：（1）因為AC⊥BD，所以四邊形ABCD的面積等于對角線乘積的一半；
（2）過點A分別作AE⊥BD，CF⊥BD，根據(jù)平行四邊形對角線互相平分和正弦定理求出△AOD的面積，那么四邊形ABCD的面積=4△AOD的面積；
（3）作輔助線AE⊥BD，CF⊥BD，利用正弦定理求出△BCD、△ABD的高，那么四邊形ABCD的面積=△BCD的面積+△ABD的面積．
解答：解：（1）∵AC⊥BD，
∴四邊形ABCD的面積=AC•BD=40．

（2）分別過點A，C作AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分別為E，F(xiàn)．                  （3分）
∵四邊形ABCD為平行四邊形，
∴AO=CO=AC=5，BO=DO=BD=4．
在Rt△AOE中，sin∠AOE=，
∴AE=AO•sin∠AOE=AO×sin60°=5×=．       （4分）
∴S_△AOD=OD•AE=×4××5=5．              （5分）
∴四邊形ABCD的面積S=4S_△AOD=20．                （6分）

（3）如圖所示，過點A，C分別作AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分別為E，F(xiàn)．   （7分）

在Rt△AOE中，sin∠AOE=，
∴AE=AO•sin∠AOE=AO•sinθ．
同理可得
CF=CO•sin∠COF=CO×sinθ．                                   （8分）
∴四邊形ABCD的面積
S=S_△ABD+S_△CBD=BD•AE+BD•CF
=BDsinθ（AO+CO）
=BD•ACsinθ
=absinθ．
點評：根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，結(jié)合直角三角形求解．