Question

如圖，在平面直角坐標系中拋物線與軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，且 、是方程的兩個根.

（1）求拋物線的解析式及點C坐標；

（2）若點D是線段BC上一動點，過點D的直線EF平行y軸

交軸于點F，交拋物線于點E.求DE長的最大值；

（3）試探究當DE取最大值時，在拋物線x軸下方是否存在點P，使以D、F、B、P

為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，試說明理由.

 

Answer 1

 解：(1) 解得  

     ∴A(－1, 0)  B(3, 0)  ………………………………………2分

 ∴              ∴         拋物線的解析式是：              ………………3分            

  ∴  當時， ∴ C(0,－3)  ………………………………4分

（2）由（1）知 B(3, 0) ， C(0,－3)  直線BC的解析式是： ………………5分

       設D（x,x-3）(0≤x≤3),則E（x,x²-2x-3）…………………6分

 ∴DE=(x-3)-( x²-2x-3)=- x²+3x =               …………………………7分        

    ∴當      時，DE的最大值＝    …………………………8分                  

（3）答：不存在. …………………………9分                                        

由（2）知DE 取最大值時DE＝    ，              ，         

 ∴DF＝   ，BF=OB-OF=   . 

設在拋物線x軸下方存在點P，使以P、D、F、B為頂點的四邊形是平行四邊形

則BP∥DF，BF∥PD. ∴                 或            …………………………10分            

當           時，由（1）知                       

∴P₁不在拋物線上.                                      

當           時，由（1）知                       

∴P₂不在拋物線上.                                       

  綜上所述：拋物線x軸下方不存在點P，使以P、D、F、B為頂點的四邊形是平行

四邊形.…………………………12分