如圖,在△ABC中,BA=BC,以AB為直徑的⊙O分別交AC,BC于點(diǎn)D,E,BC的延長線與⊙O的切線AF交于點(diǎn)F.
(1)求證:∠ABC=2∠CAF;
(2)若AC=2
10
,CE:EB=1:4,求CE,AF的長.
考點(diǎn):切線的性質(zhì),勾股定理,解直角三角形
專題:
分析:(1)首先連接BD,由AB為直徑,可得∠ADB=90°,又由AF是⊙O的切線,易證得∠CAF=∠ABD.然后由BA=BC,證得:∠ABC=2∠CAF;
(2)首先連接AE,設(shè)CE=x,由勾股定理可得方程:(2
10
2=x2+(3x)2.然后由tan∠ABF=
AE
EB
=
AF
BA
,求得答案.
解答:(1)證明:如圖,連接BD.
∵AB為⊙O的直徑,
∴∠ADB=90°,
∴∠DAB+∠ABD=90°.
∵AF是⊙O的切線,
∴∠FAB=90°,
即∠DAB+∠CAF=90°.
∴∠CAF=∠ABD.
∵BA=BC,∠ADB=90°,
∴∠ABC=2∠ABD.
∴∠ABC=2∠CAF.

(2)解:如圖,連接AE.
∴∠AEB=90°.
設(shè)CE=x,
∵CE:EB=1:4,
∴EB=4x,BA=BC=5x,AE=3x.
在Rt△ACE中,AC2=CE2+AE2
即(2
10
2=x2+(3x)2
∴x=2.
∴CE=2,
∴EB=8,BA=BC=10,AE=6.
∵tan∠ABF=
AE
EB
=
AF
BA

6
8
=
AF
10

∴AF=
15
2
點(diǎn)評:此題考查了切線的性質(zhì)、三角函數(shù)以及勾股定理.此題難度適中,注意掌握輔助線的作法,注意掌握數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用.
練習(xí)冊系列答案
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在△ABC中,已知∠B、∠C的平分線相交于點(diǎn)O,過點(diǎn)O作EF∥BC交AB,AC于E、F.
(1)圖1中寫出等腰三角形,并找出EF與BE、CF間的關(guān)系;
(2)圖2中∠ABC的平分線與三角形外角∠ACG的平分線CO交于O,過O點(diǎn)作OE∥BC交AB于E,交AC于F,這時(shí)圖中還有等腰三角形嗎?如果有寫出來,此時(shí)EF與BE、CF間的關(guān)系如何?說明理由.

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C、等邊三角形
D、等腰直角三角形

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x
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1
3
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