Question

如圖1和2，在20×20的等距網(wǎng)格（每格的寬和高均是1個單位長）中，Rt△ABC從點A與點M重合的位置開始，以每秒1個單位長的速度先向下平移，當BC邊與網(wǎng)的底部重合時，繼續(xù)同樣的速度向右平移，當點C與點P重合時，Rt△ABC停止移動．設(shè)運動時間為x秒，△QAC的面積為y．
（1）如圖1，當Rt△ABC向下平移到Rt△A₁B₁C₁的位置時，請你在網(wǎng)格中畫出Rt△A₁B₁C₁關(guān)于直線QN成軸對稱的圖形；
（2）如圖2，在Rt△ABC向下平移的過程中，請你求出y與x的函數(shù)關(guān)系式，并說明當x分別取何值時，y取得最大值和最小值？最大值和最小值分別是多少？
（3）在Rt△ABC向右平移的過程中，請你說明當x取何值時，y取得最大值和最小值？最大值和最值分別是多少？為什么？

Answer 1

解：（1）如圖1，△A₂B₂C₂是△A₁B₁C₁關(guān)于直線QN成軸對稱的圖形
；

（2）當△ABC以每秒1個單位長的速度向下平移x秒時（如圖2），
則有：MA=x，MB=x+4，MQ=20，
y=S_梯形QMBC-S_△AMQ-S_△ABC
=（4+20）（x+4）-×20x-×4×4
=2x+40（0≤x≤16）．
由一次函數(shù)的性質(zhì)可知：
當x=0時，y取得最小值，且y_最小=40，
當x=16時，y取得最大值，且y_最大=2×16+40=72；

（3）解法一：
當△ABC繼續(xù)以每秒1個單位長的速度向右平移時，
此時16≤x≤32，PB=20-（x-16）=36-x，PC=PB-4=32-x，
∴y=S_梯形BAQP-S_△CPQ-S_△ABC=（4+20）（36-x）-×20×（32-x）-×4×4
=-2x+104（16≤x≤32）．
由一次函數(shù)的性質(zhì)可知：
當x=32時，y取得最小值，且y_最小=-2×32+104=40；
當x=16時，y取得最大值，且y_最大=-2×16+104=72．
解法二：
在△ABC自左向右平移的過程中，
△QAC在每一時刻的位置都對應(yīng)著（2）中△QAC某一時刻的位置，
使得這樣的兩個三角形關(guān)于直線QN成軸對稱．
因此，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)，
只需考查△ABC在自上至下平移過程中△QAC面積的變化情況，
便可以知道△ABC在自左向右平移過程中△QAC面積的變化情況．
當x=16時，y取得最大值，且y_最大=72，
當x=32時，y取得最小值，且y_最小=40．

分析：（1）根據(jù)平移的性質(zhì)與軸對稱圖形的性質(zhì)，可得答案；
（2）根據(jù)題意，先設(shè)平移平移時間為x秒，進而可得關(guān)系式y(tǒng)=2x+40；（0≤x≤16）；即可得出y取得最大值和最小值時x的值；
（3）與（2）的方法類似，注意面積計算方法的不同即可．
點評：本題考查平移的基本性質(zhì)與運用：①平移不改變圖形的形狀和大��；②經(jīng)過平移，對應(yīng)點所連的線段平行且相等，對應(yīng)線段平行且相等，對應(yīng)角相等．