Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線y= 與x軸交于點(diǎn)A（﹣2，0）和點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C（0，﹣3），經(jīng)過(guò)點(diǎn)A的射線AM與y軸相交于點(diǎn)E，與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為F，且.

（1）求這條拋物線的表達(dá)式，并寫(xiě)出它的對(duì)稱軸；

（2）求∠FAB的余切值；

（3）點(diǎn)D是點(diǎn)C關(guān)于拋物線對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)，點(diǎn)P是y軸上一點(diǎn)，且∠AFP=∠DAB，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】拋物線的解析式為y=．拋物線的對(duì)稱軸為x=1；（2）；（3）（0，6）或P（0，﹣）．

【解析】試題分析：（1）根據(jù)代入法求出函數(shù)的解析式，然后根據(jù)對(duì)稱軸的關(guān)系式求出對(duì)稱軸；

（2）過(guò)點(diǎn)F作FM⊥x軸，垂足為M，設(shè)E（0，t），則OE=t，然后根據(jù)題意得到用t表示的F點(diǎn)的坐標(biāo)，代入解析式可求得t的值，然后根據(jù)∠FAB的余切值；

（3）由C點(diǎn)的坐標(biāo)求出D點(diǎn)的坐標(biāo)，然后根據(jù)∠DAB的余切值求出∠DAB=∠BAF，然后分情況討論：①當(dāng)點(diǎn)P在AF的上方和②當(dāng)點(diǎn)P在AF的下方，求出P點(diǎn)的坐標(biāo).

試題解析：（1）把C（0，﹣3）代入得：c=﹣3，

∴拋物線的解析式為y=+bx﹣3．

將A（﹣2，0）代入得：×（﹣2）2﹣2b﹣3=0，解得b=﹣，

∴拋物線的解析式為y=x2﹣x﹣3．

∴拋物線的對(duì)稱軸為x=﹣=1．

（2）過(guò)點(diǎn)F作FM⊥x軸，垂足為M．

設(shè)E（0，t），則OE=t．

∵，

∴==．

∴F（6，4t）．

將點(diǎn)F（6，4t）代入y=x2﹣x﹣3得：×62﹣×6﹣3=0，解得t=．

∴cot∠FAB==．

（3）∵拋物線的對(duì)稱軸為x=1，C（0，﹣3），點(diǎn)D是點(diǎn)C關(guān)于拋物線對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)，

∴D（2，﹣3）．

∴cot∠DAB=，

∴∠FAB=∠DAB．

如下圖所示：

當(dāng)點(diǎn)P在AF的上方時(shí)，∠PFA=∠DAB=∠FAB，

∴PF∥AB，

∴yp=yF=6．

由（1）可知：F（6，4t），t=．

∴F（6，6）．

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，6）．

當(dāng)點(diǎn)P在AF的下方時(shí)，如下圖所示：

設(shè)FP與x軸交點(diǎn)為G（m，0），則∠PFA=∠FAB，可得到FG=AG，

∴（6﹣m）2+62=（m+2）2，解得：m=，

∴G（，0）．

設(shè)PF的解析式為y=kx+b，將點(diǎn)F和點(diǎn)G的坐標(biāo)代入得：，

解得：k=，b=﹣．

∴P（0，﹣）．

綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，6）或P（0，﹣）．