Question

將長為1，寬為a的長方形紙片（

1

2

＜a＜1）如圖那樣折一下，剪下一個(gè)邊長等于長方形寬度的正方形（稱為第一次操作）；再把剩下的長方形如圖那樣折一下，剪下一個(gè)邊長等于此時(shí)矩形寬度的正方形（稱為第二次操作）；如此反復(fù)操作下去，若在第n次操作后剩下的矩形為正方形，則操作終止．
（1）第一次操作后，剩下的矩形兩邊長分別為

a與1-a

；（用含a的代數(shù)式表示）
（2）若第二次操作后，剩下的長方形恰好是正方形，則a=

2

3

；
（3）若第三次操作后，剩下的長方形恰好是正方形，試求a的值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)所給的圖形可以看出每一次操作時(shí)所得正方形的邊長都等于原矩形的寬，再根據(jù)長為1，寬為a的長方形即可得出剩下的長方形的長和寬；
（2）再根據(jù)（1）所得出的原理，得出第二次操作時(shí)正方形的邊長為1-a，即可求出第二次操作以后剩下的矩形的兩邊的長分別是1-a和2a-1，并且剩下的長方形恰好是正方形，即可求出a的值；
（3）根據(jù)（2）所得出的長方形兩邊長分別是1-a和2a-1，分兩種情況進(jìn)行討論：①當(dāng)1-a＞2a-1時(shí)，第三次操作后，剩下的長方形兩邊長分別是（1-a）-（2a-1）和2a-1；②當(dāng)1-a＜2a-1時(shí)，第三次操作后，剩下的長方形兩邊長分別是（2a-1）-（1-a）和1-a，并且剩下的長方形恰好是正方形，即可求出a的值．

解答：解：（1）∵長為1，寬為a的長方形紙片（

1

2

＜a＜1），
∴第一次操作后剩下的矩形的長為a，寬為1-a；

（2）∵第二次操作時(shí)正方形的邊長為1-a，第二次操作以后剩下的矩形的兩邊分別為1-a，2a-1，
此時(shí)矩形恰好是正方形，
∴1-a=2a-1，
解得a=

2

3

；

（3）第二次操作后，剩下矩形的兩邊長分別為：1-a與2a-1．
①當(dāng)1-a＞2a-1時(shí)，
由題意得：（1-a）-（2a-1）=2a-1，
解得：a=

3

5

．
當(dāng)a=

3

5

時(shí)，1-a＞2a-1．所以，a=

3

5

是所求的一個(gè)值；
②當(dāng)1-a＜2a-1時(shí)，
由題意得：（2a-1）-（1-a）=1-a，
解得：a=

3

4

．
當(dāng)a=

3

4

時(shí)，1-a＜2a-1．所以，a=

3

4

是所求的一個(gè)值；
所以，所求a的值為

3

5

或

3

4

；
故答案為（1）a與1-a；（2）

2

3

．

點(diǎn)評：本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是分別求出每次操作后剩下的矩形的兩邊的長度，有一定難度．