【題目】若兩個一次函數的圖象與x軸交于同一點,則稱這兩個函數為一對“x牽手函數”,這個交點為“x牽手點”.
(1)一次函數y=x﹣1與x軸的交點坐標為 ;一次函數y=ax+2與一次函數y=x﹣1為一對“x牽手函數”,則a= ;
(2)已知一對“x牽手函數”:y=ax+1與y=bx﹣1,其中a,b為一元二次方程x2﹣kx+k﹣4=0的兩根,求它們的“x牽手點”.
【答案】(1)(1,0),a=﹣2;(2)“x牽手點”為(,0)或(,0).
【解析】
(1)根據x軸上點的坐標特征可求一次函數y=x-1與x軸的交點坐標;把一次函數y=x-1與x軸的交點坐標代入一次函數y=ax+2可求a的值;
(2)根據“x牽手函數”的定義得到a+b=0,根據根與系數的關系求得k=0,可得方程x2-4=0,解得x1=2,x2=-2,再分兩種情況:①若a=2,b=-2,②若a=-2,b=2,進行討論可求它們的“x牽手點”.
解:(1)當y=0時,即x﹣1=0,
所以x=1,即一次函數y=x﹣1與x軸的交點坐標為(1,0),
由于一次函數y=ax+2與一次函數y=x﹣1為一對“x牽手函數”,
所以0=a+2,
解得a=﹣2;
(2)∵y=ax+1與y=bx﹣1為一對“x牽手函數”
∴,
∴a+b=0.
∵a,b為x2﹣kx+k﹣4=0的兩根
∴a+b=k=0,
∴x2﹣4=0,
∴x1=2,x2=﹣2.
①若a=2,b=﹣2則y=2x+1與y=﹣2x﹣1的“x牽手點”為;
②若a=﹣2,b=2則y=﹣2x+1與y=2x﹣1的“x牽手點”為(,0 )
∴綜上所述,“x牽手點”為或(,0)
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【題目】在Rt△ABC中,∠ACB=90°,⊙O是△ABC的外接圓,點D是上一點,過點C作⊙O的切線PC,直線PC交BA的延長線于點P,交BD的延長線于點E.
(1)求證:∠PCA=∠PBC;
(2)若PC=8,PA=4,∠ECD=∠PCA,以點C為圓心,半徑為5作⊙C,試判斷⊙C與直線BD的位置關系.
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【題目】如圖,邊長為4的正方形ABCD中,點E在AD上,△ABE逆時針旋轉一定角度后得到△ADF,延長BE交DF于點G,若AE=3,FG=.
(1)指出旋轉中心和旋轉角度;
(2)求證:BG⊥DF;
(3)求線段GE的長.
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【題目】如圖,在△ABC中.AB=AC,AD⊥BC于D,作DE⊥AC于E,F是AB中點,連EF交AD于點G.
(1)求證:AD2=ABAE;
(2)若AB=3,AE=2,求的值.
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【題目】在甲乙兩個不透明的口袋中,分別有大小、材質完全相同的小球,其中甲口袋中的小球上分別標有數字1,2,3,4,乙口袋中的小球上分別標有數字2,3,4,先從甲袋中任意摸出一個小球,記下數字為m,再從乙袋中摸出一個小球,記下數字為n.
(1)請用列表或畫樹狀圖的方法表示出所有(m,n)可能的結果;
(2)若m,n都是方程x2﹣5x+6=0的解時,則小明獲勝;若m,n都不是方程x2﹣5x+6=0的解時,則小利獲勝,問他們兩人誰獲勝的概率大?
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【題目】在陽光下,小東同學測得一根長為米的竹竿的影長為米.
同一時刻米的竹竿的影長為________米.
同一時刻小東在測量樹的高度時,發(fā)現樹的影子不全落在地面上,有一部分落在操場的第一級臺階上,測得落在第一級臺階上的影子長為米,第一級臺階的高為米,落在地面上的影子長為米,則樹的高度為________米.
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【題目】(舊知再現)圓內接四邊形的對角 .
如圖①,四邊形是的內接四邊形,若,則 .
(問題創(chuàng)新)圓內接四邊形的邊會有特殊性質嗎?
如圖②,某數學興趣小組進行深入研究發(fā)現:
證明:如圖③,作,交于點.
∵,
∴,
∴ 即 (請按他們的思路繼續(xù)完成證明)
(應用遷移)如圖④,已知等邊外接圓,點為 上一點,且,,求的長.
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【題目】如圖,點O是等邊三角形ABC內的一點,∠BOC=150°,將△BOC繞點C按順時針旋轉得到△ADC,連接OD,OA.
(1)求∠ODC的度數;
(2)若OB=2,OC=3,求AO的長.
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【題目】(2011貴州安順,16,4分)如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=6cm,AC=8cm,按圖中所示方法將△BCD沿BD折疊,使點C落在AB邊的C′點,那么△ADC′的面積是 .
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