Question

如圖，P為正方形ABCD邊BC上任一點(diǎn)，BG⊥AP于點(diǎn)G，在AP的延長線上取點(diǎn)E，使AG=GE，連接BE，CE．
（1）求證：BE=BC；
（2）∠CBE的平分線交AE于N點(diǎn)，連接DN，求證：BN+DN=

2

AN；
（3）若正方形的邊長為2，當(dāng)P點(diǎn)為BC的中點(diǎn)時(shí)，請直接寫出CE的長為

 

．

Answer 1

分析：（1）BG垂直平分線段AE，根據(jù)線段垂直平分線上的點(diǎn)到兩端點(diǎn)的距離相等，AB=BE，又AB=BC，所以BE=BC；
（2）標(biāo)準(zhǔn)答案上僅用等腰三角形和直角三角形通過∠GBP+∠PBN=∠GBN=∠PNB=∠NBE+∠NEB，得出Rt△BPG是等腰直角三角形，進(jìn)而得到，AM=GN；
（3）先求出BG的長度，根據(jù)P為BC的中點(diǎn)，CN=BG，再根據(jù)△CNE為等腰直角三角形即可求出CE的長度．

解答：（1）證明：∵BG⊥AP，AG=GE，
∴BG垂直平分線段AE，
∴AB=BE，
在正方形ABCD中，AB=BC，
∴BE=BC；

（2）證明：連接CN，延長BN交CE于H．
自點(diǎn)D作DM⊥AN于M，

顯然Rt△ADM≌Rt△ABG，DM=AG，
∵BN平分∠CBE，∴CH=HE，
∵∠CBN=∠EBN，BE=BC，BN=BN，
∴△BCN≌△BEN，
∴CN=NE，△CEN是等腰三角形，
延長AE交DC延長線于F，則有：∠BAG=∠BEG=∠CFE=∠BCN，
A，B，C，D，N五點(diǎn)共圓，∠AND=∠BNG=45°[AB弦所對圓周角=45°]
Rt△DMN，Rt△BGN都是等腰直角三角形，

2

DM=

2

AG=DN，

2

GN=BN，

2

AG+

2

GN=

2

AN=BN+DN；

（3）根據(jù)勾股定理，AP=

AB2+BP2

=

22+12

=

5

，
∴BG=

2×1

5

=

2 5

5

，
∵BP=PC，∠BGP=∠CNP=90°，
∴△BPG≌△CNP（AAS），
∴CN=BG，
∴CE=

2

CN=

2

×

2 5

5

=

2 10

5

．

點(diǎn)評：本題綜合性較強(qiáng)，主要利用線段垂直平分線段判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，綜合運(yùn)用各定理和性質(zhì)，并分析題目用已知條件和所要證明的結(jié)論之間的關(guān)系是解本題的關(guān)鍵，準(zhǔn)確作出輔助線對解決本題非常重要，需要同學(xué)們在平時(shí)的學(xué)習(xí)中不斷提高自我并完善各知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系，本題難度較大．