Question

如圖甲，在△ABC中，∠ACB為銳角．點(diǎn)D為射線BC上一動(dòng)點(diǎn)，連接AD，以AD為一邊且在AD的右側(cè)作正方形ADEF．
解答下列問(wèn)題：
（1）如果AB=AC，∠BAC=90º．
①當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí)（與點(diǎn)B不重合），如圖乙，線段CF、BD之間的位置關(guān)系為     ，數(shù)量關(guān)系為     ．
②當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖丙，①中的結(jié)論是否仍然成立，為什么？

（2）如果AB≠AC，∠BAC≠90º，點(diǎn)D在線段BC上運(yùn)動(dòng)．
試探究：當(dāng)△ABC滿足一個(gè)什么條件時(shí)，CF⊥BC（點(diǎn)C、F重合除外）？畫(huà)出相應(yīng)圖形，并說(shuō)明理由．（畫(huà)圖不寫(xiě)作法）
（3）若AC＝，BC=3，在（2）的條件下，設(shè)正方形ADEF的邊DE與線段CF相交于點(diǎn)P，求線段CP長(zhǎng)的最大值．

Answer 1

（1）①CF與BD位置關(guān)系是 垂 直、數(shù)量關(guān)系是相 等；
②當(dāng)點(diǎn)D在BC的延長(zhǎng)線上時(shí)①的結(jié)論仍成立．
由正方形ADEF得  AD="AF" ，∠DAF=90º．
∵∠BAC=90º，∴∠DAF="∠BAC" ，  ∴∠DAB=∠FAC，
又AB="AC" ，∴△DAB≌△FAC ， ∴CF=BD  　　　　
∠ACF=∠ABD．
∵∠BAC=90º， AB="AC" ，∴∠ABC=45º，∴∠ACF=45º，
∴∠BCF="∠ACB+∠ACF=" 90º．即 CF⊥BD
（2）畫(huà)圖正確　　　　　　　
當(dāng)∠BCA=45º時(shí)，CF⊥BD（如圖丁）．

理由是：過(guò)點(diǎn)A作AG⊥AC交BC于點(diǎn)G，∴AC=AG
可證：△GAD≌△CAF   ∴∠ACF=∠AGD=45º 
∠BCF="∠ACB+∠ACF=" 90º．  即CF⊥BD
（3）當(dāng)具備∠BCA=45º時(shí)，
過(guò)點(diǎn)A作AQ⊥BC交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q，（如圖戊）

∵DE與CF交于點(diǎn)P時(shí)， ∴此時(shí)點(diǎn)D位于線段CQ上，
∵∠BCA=45º，可求出AQ= CQ=4．設(shè)CD="x" ，∴  DQ=4—x，
容易說(shuō)明△AQD∽△DCP，∴ ，  ∴，
．
∵0＜x≤3   ∴當(dāng)x=2時(shí)，CP有最大值1．    

（1）首先選擇圖2證明，由AB=AC，∠BAC=90°，可得：△ABC是等腰直角三角形，又由四邊形ADEF是正方形，易證得△ABD≌△ACF（SAS），即可求得：CF=BD，∠ACF=∠B=45°，證得CF⊥BD；
（2）過(guò)點(diǎn)A作AG⊥AC交BC于點(diǎn)G，可證△GAD≌△CAF，則∠ACF=∠AGD=45º，從而得∠BCF="∠ACB+∠ACF=" 90º， 即CF⊥BD。
（3）首先作輔助線：過(guò)點(diǎn)A作AG⊥BC，垂足為G，連接CF，易得：△AGD∽△DCP，由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，即可求得：AG•CP=GD•DC，在等腰Rt△AGC中求得AC的值，設(shè)GD=x，即可求得CP關(guān)于x的二次函數(shù)，求得最大值．