Question

如圖，將△AOB置于平面直角坐標(biāo)系中，其中點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3，0），∠ABO=60°．
（1）求作△AOB的外接圓圓心P，并求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）若⊙P與y軸交于點(diǎn)D，求D點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）若CD是⊙P的切線，求直線CD的函數(shù)解析式．

Answer 1

分析：（1）設(shè)⊙P與y軸交于D點(diǎn)，連接AD，因?yàn)椤螦OD=90°，根據(jù)圓周角定理可知，AD為⊙O的直徑，則圓心P為AD的中點(diǎn)，利用解直角三角形 求OD，再利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求P點(diǎn)坐標(biāo)．
（2）在直角三角形ADO中，因?yàn)椤螦DO=∠ABO=60°，OA=3，然后即可求出OD，即得D點(diǎn)的坐標(biāo)．
（3）連接PO，先求出C點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求出直線CD的解析式．

解答：解：（1）連接AD，則圓心P為AD的中點(diǎn)，
在直角三角形ADO中，∠ADO=∠ABO=60°，
∴tan60°=

AO

OD

，則OD=

3

3

=

3

，
∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為（

3

2

，

3

2

）．

（2）在直角三角形ADO中，
∵∠ADO=∠ABO=60°，OA=3，
∴tan60°=

OA

OD

，
∴OD=

3

，
∴D點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，

3

）；

（3）連接PO，則PD=PO；
∵∠PAO=90°-60°=30°，
∠POD=∠PDO=60°，
∵CD是⊙P的切線，
∴∠PDC=90°，
∴∠CDO=30°，
∴在Rt△DCO中，tan30°=

OC

OD

，OD=

3

，
∴OC=1，
∴C點(diǎn)的坐標(biāo)為（-1，0）；
可設(shè)直線CD的解析式為y=kx+b，
將C，D兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入解析式，解得

k= 3 b= 3

，
∴直線CD的解析式：y=

3

x+

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要是考查圓的切線性質(zhì)，圓周角定理，三角形的外接圓及待定系數(shù)法．解題的關(guān)鍵是利用數(shù)形結(jié)合的思想，將形的問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)方法來解題．