Question

如圖，將△AOB置于平面直角坐標系中，其中點O為坐標原點，點A的坐標為（3，0），∠ABO=60°．
（1）求作△AOB的外接圓圓心P，并求出P點的坐標；
（2）若⊙P與y軸交于點D，求D點的坐標；
（3）若CD是⊙P的切線，求直線CD的函數解析式．

Answer 1

分析：（1）設⊙P與y軸交于D點，連接AD，因為∠AOD=90°，根據圓周角定理可知，AD為⊙O的直徑，則圓心P為AD的中點，利用解直角三角形 求OD，再利用中點坐標公式求P點坐標．
（2）在直角三角形ADO中，因為∠ADO=∠ABO=60°，OA=3，然后即可求出OD，即得D點的坐標．
（3）連接PO，先求出C點的坐標，再利用待定系數法求出直線CD的解析式．

解答：解：（1）連接AD，則圓心P為AD的中點，
在直角三角形ADO中，∠ADO=∠ABO=60°，
∴tan60°=

AO

OD

，則OD=

3

3

=

3

，
∴P點的坐標為（

3

2

，

3

2

）．

（2）在直角三角形ADO中，
∵∠ADO=∠ABO=60°，OA=3，
∴tan60°=

OA

OD

，
∴OD=

3

，
∴D點的坐標為（0，

3

）；

（3）連接PO，則PD=PO；
∵∠PAO=90°-60°=30°，
∠POD=∠PDO=60°，
∵CD是⊙P的切線，
∴∠PDC=90°，
∴∠CDO=30°，
∴在Rt△DCO中，tan30°=

OC

OD

，OD=

3

，
∴OC=1，
∴C點的坐標為（-1，0）；
可設直線CD的解析式為y=kx+b，
將C，D兩點的坐標代入解析式，解得

k= 3 b= 3

，
∴直線CD的解析式：y=

3

x+

3

．

點評：本題主要是考查圓的切線性質，圓周角定理，三角形的外接圓及待定系數法．解題的關鍵是利用數形結合的思想，將形的問題轉化為代數方法來解題．