Question

如圖，以Rt△ABC的直角邊AB為直徑的半圓O，與斜邊AC交于點(diǎn)D，E是BC邊的中點(diǎn)，連接DE．
（1）DE與半圓O相切嗎？若相切，請(qǐng)給出證明；若不相切，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（2）若AD、AB的長(zhǎng)是方程x²-6x+8=0的兩個(gè)根，求直角邊BC的長(zhǎng)；
（3）在（2）的條件下，則圖中陰影部分的面積=______

Answer 1

【答案】分析：（1）相切．連接OD，證OD⊥DE即可．因?yàn)锳B是直徑，所以連接BD，則BD⊥AC，△BCD為直角三角形．又E是BC中點(diǎn)，得DE=EB，所以∠EDB=∠EBD；因OB=OD，有∠OBD=∠ODB．所以∠ODE=∠OBC=90°，得證；
（2）解方程求AD、AB的長(zhǎng)，從而求BD．利用△ADB∽△BDC得比例線段求解；
（3）陰影部分的面積=S_{四邊形BODE}-S_扇形BOD．
根據(jù)DE是△BDC的中線可得S_△BDE=S_△BDC，同理，S_△BOD=S_△ABD．
所以S_{四邊形BODE}=S_△ABC．
分別求各部分面積求解．
解答：解：（1）DE與半圓O相切，
連接OD，BD，
∵AB是直徑，∴BD⊥AC，△BCD為直角三角形，
∵E是BC中點(diǎn)，∴DE=EB，
∴∠EDB=∠EBD；
∵OB=OD，
∴∠OBD=∠ODB，
∴∠ODB+∠EDB=∠OBD+∠EBD，即
∠ODE=∠OBC=90°．
∴DE與半圓O相切．

（2）解方程x²-6x+8=0得x₁=2，x₂=4，
∴AD=2，AB=4，
∴BD=2，
∵∠ABC=90°，BD⊥AC，
∴△ADB∽△BDC，
∴，即，
∴BC=4．

（3）∵OA=OD=AD=2，∴∠AOD=60°，
∴∠DOB=120°，
∴S_扇形BOD==，
∵DE是△BDC的中線，
∴S_△BDE=S_△BDC，
同理，S_△BOD=S_△ABD，
∴S_{四邊形BODE}=S_△ABC=××4×4=4．
∴S_陰影部分=4-．
點(diǎn)評(píng)：此題考查的知識(shí)點(diǎn)較多，綜合性較強(qiáng)，難度偏上．