(2006•蕪湖)在一次科學(xué)探究實(shí)驗(yàn)中,小明將半徑為5cm的圓形濾紙片按圖1所示的步驟進(jìn)行折疊,并圍成圓錐形.
(1)取一漏斗,上部的圓錐形內(nèi)壁(忽略漏斗管口處)的母線OB長為6cm,開口圓的直徑為6cm.當(dāng)濾紙片重疊部分三層,且每層為圓時(shí),濾紙圍成的圓錐形放入該漏斗中,能否緊貼此漏斗的內(nèi)壁(忽略漏斗管口處),請你用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識說明;
(2)假設(shè)有一特殊規(guī)格的漏斗,其母線長為6cm,開口圓的直徑為7.2cm,現(xiàn)將同樣大小的濾紙圍成重疊部分為三層的圓錐形,放入此漏斗中,且能緊貼漏斗內(nèi)壁.問重疊部分每層的面積為多少?
【答案】分析:此題是圓錐側(cè)面積求解的典型問題,要靈活運(yùn)用公式,并結(jié)合實(shí)際解題.
解答:解:解法一:
∵表面緊貼的兩圓錐形的側(cè)面展開圖為圓心角相同的兩扇形,
∴表面是否緊貼只需考慮展開圖的圓心角是否相等.
由于濾紙圍成的圓錐形只有最外層側(cè)面緊貼漏斗內(nèi)壁,故只考慮該濾紙圓錐最外層的側(cè)面和漏斗內(nèi)壁圓錐側(cè)面的關(guān)系.
將圓形濾紙片按圖示的步驟折成四層且每層為圓,
則圍成的圓錐形的側(cè)面積=(1-2×)S濾紙圓=S濾紙圓
∴它的側(cè)面展開圖是半圓,其圓心角為180度,
如將漏斗內(nèi)壁構(gòu)成的圓錐側(cè)面也抽象地展開,展開的扇形弧長為:πd=π×6=6π(cm),
該側(cè)面展開圖的圓心角為6π÷6×=180度.
由此可以看出兩圓錐的側(cè)面展開得到的扇形,它們的圓心角相等.
∴該濾紙圍成的圓錐形必能緊貼漏斗內(nèi)壁.

解法二:
∵圓錐可以看作是等腰三角形圍繞其對稱軸旋轉(zhuǎn)而成的幾何圖形,其正視圖和側(cè)視圖皆為全等的等腰三角形,
∴如濾紙片能緊貼漏斗內(nèi)壁,由其兩母線和開口圓的直徑構(gòu)成的等腰三角形必與漏斗兩母線和開口圓的直徑構(gòu)成的等腰三角形相似或頂角相同.
根據(jù)題意可得,濾紙圍成的圓錐形開口圓的圓周長應(yīng)為(1-2×)×2π×5=5π(cm),
由此可得其開口圓的直徑為5cm,
∵濾紙圓錐的兩母線長和開口圓的直徑都是5cm;漏斗兩母線長和開口圓的直徑都是6cm,
∴兩三角形皆為等邊三角形.
故兩等邊三角形相似且角相等,所以濾紙片能緊貼漏斗內(nèi)壁;

(2)如果抽象地將母線長為6cm,開口圓直徑為7.2cm的特殊規(guī)格的漏斗內(nèi)壁圓錐側(cè)面展開,得到的扇形弧長為7.2πcm,
圓心角為7.2π÷6×=216度,
濾紙片如緊貼漏斗壁,其圍成圓錐的最外層側(cè)面展開圖的圓心角也應(yīng)為216°,
又∵重疊部分每層面積為圓形濾紙片的面積減去圍成圓錐的最外層側(cè)面展開圖的面積的差的一半,
∴濾紙重疊部分每層面積=(25π-×25π)÷2=5π(cm2).
點(diǎn)評:將幾何圖形做適當(dāng)變形,找出隱藏條件是解一些復(fù)雜幾何問題常用的方法.
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