Question

對(duì)于二次函數(shù)y=x²-3x+2和一次函數(shù)y=-2x+4，把y=t（x²-3x+2）+（1-t）（-2x+4）稱為這兩個(gè)函數(shù)的“再生二次函數(shù)”，其中t是不為零的實(shí)數(shù)，其圖象記作拋物線E．現(xiàn)有點(diǎn)A（2，0）和拋物線E上的點(diǎn)B（-1，n），請(qǐng)完成：
（1）當(dāng)t=2時(shí)，求拋物線y=t（x²-3x+2）+（1-t）（-2x+4）的頂點(diǎn)坐標(biāo)．
（2）判斷點(diǎn)A是否在拋物線E上，并求出n的值．
（3）通過(guò)（2）演算可知，對(duì)于t取任何不為零的實(shí)數(shù)，拋物線E總過(guò)定點(diǎn)，寫出定點(diǎn)坐標(biāo)．
（4）二次函數(shù)y=-3x²+5x+2是二次函數(shù)y=x²-3x+2和一次函數(shù)y=-2x+4的一個(gè)“再生二次函數(shù)”嗎？如果是，求出t的值；如果不是，說(shuō)明理由．

Answer 1

解：（1）將t=2代入拋物線E中，得：y=t（x²-3x+2）+（1-t）（-2x+4）=2x²-4x=2（x-1）²-2，
∴此時(shí)拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為：（1，-2）；

（2）點(diǎn)A在拋物線E上，理由如下：
∵將x=2代入y=t（x²-3x+2）+（1-t）（-2x+4），得 y=0，
∴點(diǎn)A（2，0）在拋物線E上．
∵點(diǎn)B（-1，0）在拋物線E上，
∴將x=-1代入拋物線E的解析式中，得：n=t（x²-3x+2）+（1-t）（-2x+4）=6．


（3）∵將拋物線E的解析式展開，得：
y=t（x²-3x+2）+（1-t）（-2x+4）=t（x-2）（x+1）-2x+4
∴拋物線E必過(guò)定點(diǎn)（2，0）、（-1，6）；

（4）不是．
∵將x=-1代入y=-3x²+5x+2，得y=-6≠6，
∴二次函數(shù)y=-3x²+5x+2的圖象不經(jīng)過(guò)點(diǎn)B．
∴二次函數(shù)y=-3x²+5x+2不是二次函數(shù)y=x²-3x+2和一次函數(shù)y=-2x+4的一個(gè)“再生二次函數(shù)”．
分析：（1）將t的值代入“再生二次函數(shù)”中，通過(guò)配方可得到頂點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入拋物線E上直接進(jìn)行驗(yàn)證；根據(jù)點(diǎn)B在拋物線E上，將該點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線E的解析式中直接求解，即可得到n的值；
（3）將拋物線E展開，然后將含t值的式子整合到一起，令該式子為0（此時(shí)無(wú)論t取何值都不會(huì)對(duì)函數(shù)值產(chǎn)生影響），即可求出這個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo)；
（4）將（3）中得到的兩個(gè)定點(diǎn)坐標(biāo)代入二次函數(shù)y=-3x²+5x+2中進(jìn)行驗(yàn)證即可．
點(diǎn)評(píng)：本題考查的是二次函數(shù)綜合題，該題通過(guò)新定義的形式考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)等知識(shí)，理解新名詞的含義尤為關(guān)鍵．