Question

為了測量一個圓形鐵環(huán)的半徑，某同學采用如下方法：將鐵環(huán)平放在水平的桌面上，用一個銳角為30°的三角板和一個刻度尺，按照如圖（1）的方法（其中鐵環(huán)與三角板的斜邊相切）得到相關(guān)數(shù)據(jù)，進而求得鐵環(huán)的半徑．
（1）若測得PA=5cm，求鐵環(huán)的半徑；
（2）在相同的條件下，請你再設(shè)計一種測量圓形鐵環(huán)半徑的方法，畫出設(shè)計草圖，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）連接OP、OD、OA；由∠BAC=60°可得∠PAD=120°，由于PA、AD都是⊙O的切線，由切線長定理可得∠OAP=

1

2

∠PAD，即可根據(jù)PA的長和∠OAP的度數(shù)在Rt△OPA中求得鐵環(huán)的半徑．
（2）參照（1）的思路，可讓直角三角板的直角邊BC與⊙O相切，切點仍為D，那么四邊形PODC為正方形，測得的PC的長即為鐵環(huán)的半徑．

解答：解：（1）連接OP、OD、OA，則∠OPA=90°，∠ODA=90°；
∵∠BAC=60°，
∴∠PAD=120°；
∵PA、AD都是⊙O的切線，
∴∠OAP=

1

2

∠PAD=60°；
在Rt△OPA中，PA=5cm，則OP=5

3

cm，
即⊙O的半徑為5

3

cm．

（2）如圖；令直角三角板的直角邊與⊙O相切，切點為D；
∵CP、CD都是⊙O的切線，
∴∠OPC=∠ODC=∠PCD=90°，
∴四邊形OPCD是矩形；
又∵OP=OD，
∴四邊形OPCD是正方形；
因此測得PC的長，即為鐵環(huán)的半徑．

點評：此題主要考查了切線的性質(zhì)、切線長定理、正方形的判定和性質(zhì)等知識，難度適中．