Question

已知點A（-1，n）（n＞0）和點B（2，3）在拋物線y₁=x²+bx+c上，點C（1，0）是x軸上一點，且CA+CB的值最�。�
（1）求拋物線y₁的解析式．
（2）左右平移拋物線y₁=ax²+bx+c，記平移后點A的對應點為A′，點B的對應點為B′，點E（-1，0）和點F（-3，0）是x軸上兩個定點，問是否存在某個位置，使四邊形A′B′EF的周長最短？若存在，求出此時拋物線的解析式；若不存在，請說明理由．
（3）平移拋物線y₁=ax²+bx+c得到y(tǒng)₂=（x-h）²，當2＜x≤m時，有y₂≤x恒成立，當m取最大值時，求h的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）此題的關(guān)鍵是確定出點A的坐標，那么必須從CA+CB的值最小入手；解題思路和該類型題是一樣的，首先作點B關(guān)于x軸的對稱點，然后求出過該對稱點C的直線，那么當CA+CB值最小時，點A、C以及點B關(guān)于x軸的對稱點必共線，所以將點A坐標代入上面所得的直線解析式中即可確定點A的坐標，再利用待定系數(shù)法來確定拋物線的解析式；
（2）拋物線平移時，點A′、B′平移的程度是相同的，那么先判斷一下平移的大致方向，然后用平移的距離表示出點A′、B′的坐標，顯然在四邊形A′B′EF中，線段A′B′與線段EF的長是一定的，當這個四邊形的周長最小時，A′F+B′E的值最小，但這涉及到四個點，無法應用（1）的解題思路，所以要對圖形做適當處理；觀察圖形可知，EF=2，那么將點B′向左平移2個單位，得到點B″，顯然四邊形B″B′EF是個平行四邊形，有B″F=B′E，所以將問題轉(zhuǎn)化為A′F+B″F的值最小，這樣轉(zhuǎn)化為類似（1）的問題，按（1）的思路來解即可；
（3）這個小題要結(jié)合函數(shù)的圖象來解，關(guān)鍵的問題在于對“y₂≤x”，如果將上式看作簡單的不等式，這道題將很難解出，所以可以將x看作一次函數(shù)，確定了這個思路后再進一步進行分析，首先設(shè) y₃=x（這是一個一次函數(shù)），那么y₂＜x可改為y₂＜y₃，在函數(shù)圖象上，可以理解為：在“2＜x≤m”區(qū)間內(nèi)，直線y₃的函數(shù)圖象在拋物線y₂的函數(shù)圖象上方，然后通過作圖不難判斷出m的最大值以及函數(shù)y₂經(jīng)過的定點，據(jù)此確定h的值．
解答：解：（1）取點B關(guān)于x軸的對稱點（2，-3）；
設(shè)直線AC的解析式為：y=kx+b，若CA+CB的值最小，那么點（2，-3）必在直線AC上，有：
，
解得
故直線AC：y=-3x+3，則點A（-1，6）；
已知拋物線y₁=x²+bx+c過點A、B，依題意，有：
，
解得 ．
故拋物線y₁=x²-2x+3；

（2）①若拋物線向右平移，則有AF+BE＞A′F+B′E，所以不能向右平移．
②當拋物線向左平移時，設(shè)平移后點A對應的點A′為（-1-t，6），點B對應的點B′為（2-t，3）；（如右圖）
將點B´向左平移2個單位得點B″（-t，3），此時四邊形B″B′EF是平行四邊形，則 B′E=B″F；
四邊形A′B′EF中，A′B′、EF是定值，若四邊形A′B′EF的周長最短，那么 A′F+B′E（即A′F+B′F）最小．
同（1）的思路，取點A′關(guān)于x軸對稱的點A″為（-1-t，-6），則直線A″B″解析式為：y=9x+9t+3；
將點F（-3，0）代入直線A″B″的解析式中，得t=；
則此時四邊形A′B′EF的周長最�。�
所以平移后的拋物線解析式為：，
即；

（3）令y₃=x，則y₂≤y₃；
如右圖，當拋物線y₂左分支過點（2，2）時，拋物線y₂與直線y₃的另一交點橫坐標則為m的最大值；
將點（2，2）代入y₂=（x-h）²，得：
（2-h）²=2，
解得：h₁=2+，h₂=2-（舍）；
則h=2+．
點評：考查了二次函數(shù)綜合題，該題主要涉及了：函數(shù)解析式的確定、軸對稱圖形的性質(zhì)以及兩點間線段最短的綜合應用、利用函數(shù)圖象解不等式等重要知識；著重體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想的實際應用．