如圖1,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠C=90°,BC=12,AD=18,AB=10.動(dòng)點(diǎn)P、Q分別從點(diǎn)D、B同時(shí)出發(fā),動(dòng)點(diǎn)P沿射線DA的方向以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)的速度運(yùn)動(dòng),動(dòng)點(diǎn)Q在線段BC上以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng),當(dāng)點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)精英家教網(wǎng)C時(shí),點(diǎn)P隨之停止運(yùn)動(dòng).設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t(秒).
(1)當(dāng)點(diǎn)P在線段DA上運(yùn)動(dòng)時(shí),連接BD,若∠ABP=∠ADB,求t的值;
(2)當(dāng)點(diǎn)P在線段DA上運(yùn)動(dòng)時(shí),若以BQ為直徑的圓與以AP為直徑的圓外切,求t的值;
(3)設(shè)射線PQ與射線AB相交于點(diǎn)E,△AEP能否為等腰三角形?如果能,請(qǐng)直接寫出t的值;如果不能,請(qǐng)說(shuō)明理由.
分析:(1)由已知?jiǎng)狱c(diǎn)P和動(dòng)點(diǎn)Q的速度,可以用t表示出DP和AP,由∠ABP=∠ADB,∠A=∠A可得到△ABP∽△ADB,即AB2=AD•AP,把已知數(shù)據(jù)和含t的代數(shù)式代入得到關(guān)于t的一元一次方程,從而求出t的值.
(2)過(guò)點(diǎn)B作BH⊥AD,垂足為H,得直角三角形BHA,由已知AH=AD-BC,根據(jù)勾股定理求出BH,設(shè)BQ中點(diǎn)為O1、AP中點(diǎn)為O2即兩個(gè)圓的圓心,再過(guò)O1作O1I⊥AD,垂足為I,連接O1O2,得直角三角形O1IO2,由已知得出O1I,以BQ為直徑的圓與以AP為直徑的圓外切,所以O(shè)1O2=BO1+AO2,由已知O2I=DO2-DI,在直角三角形O1IO2個(gè)邊已求出,把求出的含t的代數(shù)式代入
O1O22=O1I2+O2I2,得關(guān)于t的一元二次方程,從而求出t.
(3)假設(shè)能為等腰三角形,可通過(guò)等腰三角形求出符合的t的值.
解答:解:(1)已知?jiǎng)狱c(diǎn)P沿射線DA的方向以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)的速度運(yùn)動(dòng),動(dòng)點(diǎn)Q在線段BC上以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度,
可得:DP=2t,AP=18-2t,
∵∠ABP=∠ADB,∠A=∠A,
∴△ABP∽△ADB,
AB
AD
=
AP
AB
,
即AB2=AD•AP,
∴102=18×(18-2t),
解得:t=
56
9

56
9
<9

t=
56
9


(2)過(guò)點(diǎn)B作BH⊥AD,垂足為H,得BH=8,
記BQ中點(diǎn)為O1、AP中點(diǎn)為O2,連接O1O2
過(guò)點(diǎn)O1作O1I⊥AD,垂足為I,則O1I=BH=8,
BO1=
t
2
,CO1=12-
t
2
,AO2=
18-2t
2
=9-t
,
DO2=9+t,
O2I=|(9+t)-(12-
t
2
)|=|
3t
2
-3|
,精英家教網(wǎng)
當(dāng)O1O2=BO1+AO2=
t
2
+(9-t)=9-
t
2
時(shí)
以BQ為直徑的圓與以AP為直徑的圓外切,在Rt△O1IO2中,O1O22=O1I2+O2I2,
(9-
t
2
)2=82+(
3t
2
-3)2
,整理得:t2=4,
∵t>0,
∴t=2;

(3)能,精英家教網(wǎng)
①當(dāng)EP=EA時(shí),∠EPA=∠A,
此時(shí)四邊形QPAB是等腰梯形,
∴BQ=PA-12,
∴t=18-2t-12,
∴t=2;
②當(dāng)EP=PA時(shí),
PM=PA-MN-AN=18-2t-t-6=12-3t,
EQ=BQ=t,
∴PQ=EP-EQ=18-2t-t=18-3t,
∵PQ2=PM2+QM2
∴(18-3t)2=(12-3t)2+64,
解得:t=
29
9
;
③當(dāng)AE=AP時(shí),
∵AB=10,
∴EB=EA-AB=18-2t-10=8-2t,
QB
PA
=
EB
EA
,
t
18-2t
=
8-2t
18-2t

解得:t=
8
3
;
④當(dāng)點(diǎn)P在DA延長(zhǎng)線上
AP=AE(鈍角三角形)
AP=2t-18,
AE=10-t
2t-18=10-t
解得:t=
28
3

t的值可以是t=
29
9
t=
8
3
或t=2或
28
3
點(diǎn)評(píng):此題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)、直角梯形和切線的性質(zhì),解答此題的關(guān)鍵一是通過(guò)相似形求t的值,再是通過(guò)作輔助線得直角三角形根據(jù)勾股定理列方程求t的值.第三是由等腰三角形計(jì)算出符合條件的t的值.
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相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖1,在直角梯形ABCD中,動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā),沿BC,CD運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)D停止.設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路程為x,△ABP的面積為y,如果y關(guān)于x的函數(shù)圖象如圖2所示,則△BCD的面積是( 。
A、3B、4C、5D、6

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:閱讀理解

閱讀理解:如圖1,在直角梯形ABCD中,AB∥CD,∠B=90°,點(diǎn)P在BC邊上,當(dāng)∠APD=90°時(shí),易證△ABP∽△PCD,從而得到BP•PC=AB•CD,解答下列問(wèn)題.
(1)模型探究:如圖2,在四邊形ABCD中,點(diǎn)P在BC邊上,當(dāng)∠B=∠C=∠APD時(shí),求證:BP•PC=AB•CD;
(2)拓展應(yīng)用:如圖3,在四邊形ABCD中,AB=4,BC=10,CD=6,∠B=∠C=60°,AO⊥BC于點(diǎn)O,以O(shè)為頂點(diǎn),以BC所在直線為x軸,建立平面直角坐標(biāo)系,點(diǎn)P為線段OC上一動(dòng)點(diǎn)(不與端點(diǎn)O、C重合)
(i)當(dāng)∠APD=60°時(shí),求點(diǎn)P的坐標(biāo);
(ii)過(guò)點(diǎn)P作PE⊥PD,交y軸于點(diǎn)E,設(shè)PO=x,OE=y,求y與x的函數(shù)關(guān)系式,并寫出自變量x的取值范圍.精英家教網(wǎng)

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

27、如圖1,在正方形ABCD中,E是AB上一點(diǎn),F(xiàn)是AD延長(zhǎng)線上一點(diǎn),且DF=BE.容易證得:CE=CF;
(1)在圖1中,若G在AD上,且∠GCE=45°,試猜想GE、BE、GD三線段之間的關(guān)系,并證明你的結(jié)論;
(2)在(1)的條件下,若以C為圓心,CD為半徑作圓,試判斷此圓與直線EG的位置關(guān)系,并說(shuō)明理由;
(3)運(yùn)用(1)中解答所積累的經(jīng)驗(yàn)和知識(shí),完成下題:
如圖2,在直角梯形ABCD中,AD∥BC(BC>AD),∠B=90°,AB=BC=12,E是AB上一點(diǎn),且∠DCE=45°,BE=4,求DE的長(zhǎng).

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖1,在直角梯形ABCD中,∠B=90°,DC∥AB,動(dòng)點(diǎn)P從B點(diǎn)出發(fā),沿折線B→C→D→A運(yùn)動(dòng),點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的速度為2個(gè)單位長(zhǎng)度/秒,若設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為x秒,△ABP的面積為y,如果y關(guān)于x的函數(shù)圖象如圖2所示,則△ABC的面積為( 。
精英家教網(wǎng)
A、16B、48C、24D、64

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖1,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠A=90°,BD⊥DC,BC=10cm,CD=6cm.有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)E、F分別在線段CD與BC上運(yùn)動(dòng),點(diǎn)E以每秒1cm的速度從點(diǎn)C向點(diǎn)D勻速運(yùn)動(dòng).點(diǎn)F以每秒2cm的速度從點(diǎn)B向點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng);當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí),另一點(diǎn)也隨之停止.設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒.
(1)求AD的長(zhǎng);
(2)設(shè)四邊形BFED的面積為y,求y 關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式,并寫出t的取值范圍;
(3)點(diǎn)E、F在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,如果由點(diǎn)C、E、F構(gòu)成的三角形與△BDC相似,求線段BF的長(zhǎng).

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