【答案】
分析:(1)根據(jù)題意,根據(jù)圓心的性質(zhì),可得C的AB的中垂線上,易得C的縱坐標(biāo)為5;進(jìn)而可得圓的半徑為5;利用勾股定理可得其橫坐標(biāo)為4;即可得C的坐標(biāo),設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b,將B與C的坐標(biāo)代入得到關(guān)于k與b的方程組,求出方程的解得到k與b的值,即可確定出直線BC的解析式;
(2)能得到AP⊥BE,理由為:連接AE,由BE為圓C的直徑,利用直徑所對(duì)的圓周角為直角得到∠BAE為直角,將AB
2=BP?BE化為比例式,再加上一對(duì)公共角相等,利用兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等的兩三角形相似,得到三角形ABP與三角形EBA相似,由相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等,得到∠BPA與∠BAE相等,都為直角,即可得到AP⊥BE;
(3)在圓C上不存在點(diǎn)Q,使得△PEQ為等邊三角形,理由為:假設(shè)在圓C上存在點(diǎn)Q,使得△PEQ為等邊三角形,作出線段PE的垂直平分線,垂足為M,交圓O于點(diǎn)Q,連接CQ,由AB
2=BP?BE,將AB與BE的長(zhǎng)代入求出BP的長(zhǎng),由BE-BP求出PE的長(zhǎng),進(jìn)而確定出ME的長(zhǎng),由CE-ME求出CM的長(zhǎng),在直角三角形CQM中,利用勾股定理求出QM的長(zhǎng),同時(shí)在等邊三角形QCE中,由QM垂直于PE,得到M為PE的中點(diǎn),得到PM的長(zhǎng),在直角三角形QPM中,利用勾股定理求出QM的長(zhǎng),兩次求出MQ的長(zhǎng)不相等,故假設(shè)錯(cuò)誤,則在圓C上不存在點(diǎn)Q,使得△PEQ為等邊三角形.
解答:解:(1)連接CD,過C作CN⊥y軸,交y軸于點(diǎn)N,
由A(0,2),B(0,8),得到N(0,5),即ON=CD=5;AN=BN=3,
∴圓C的半徑BC=5,即C的縱坐標(biāo)為5,
在Rt△BCN中,根據(jù)勾股定理得:CN=
=4,
∴C(4,5),
設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b(k≠0),
將B與C的坐標(biāo)代入得:
,
解得:
,
則直線BC的解析式為y=-
x+8;
(2)若線段BE上有一點(diǎn)P,使得AB
2=BP•BE,能推出AP⊥BE,理由為:
連接AE,
∵BE為圓C的直徑,
∴∠BAE=90°,
∵AB
2=BP•BE,即
=
,且∠BAE=∠PBA,
∴△PBA∽△ABE,
∴∠BPA=∠BAE=90°,
∴AP⊥BE;
(3)在圓C上不存在點(diǎn)Q,使得△PEQ為等邊三角形,理由為:
假設(shè)在圓C上存在點(diǎn)Q,使得△PEQ為等邊三角形,
作出線段PE的垂直平分線,垂足為M,交圓O于點(diǎn)Q,連接CQ,
可得PM=ME,QM⊥PE,
∵AB
2=BP•BE,AB=6,BE=10,
∴BP=3.6,
∴PE=BE-BP=10-3.6=6.4,
∴PM=EM=3.2,
∴CM=CE-ME=5-3.2=1.8,
在Rt△CMQ中,根據(jù)勾股定理得:QM=
=
≈4.66,
而在Rt△PQM中,根據(jù)勾股定理得:QM=
=
≈5.54,
矛盾,故假設(shè)錯(cuò)誤,
則在圓C上不存在點(diǎn)Q,使得△PEQ為等邊三角形.
點(diǎn)評(píng):此題考查了圓綜合題,涉及的知識(shí)有:相似三角形的判定與性質(zhì),坐標(biāo)與圖形性質(zhì),等邊三角形的性質(zhì),勾股定理,圓周角定理,切線的性質(zhì),以及待定系數(shù)法確定一次函數(shù)解析式,熟練掌握性質(zhì)及定理是解本題的關(guān)鍵.