Question

如圖，CD為⊙O的直徑，點A在⊙O上，過點A作⊙O的切線交CD的延長線于點F．已知∠F=30°．
（1）求∠C的度數(shù)；
（2）若點B在⊙O上，AB⊥CD，垂足為E，AB=4

3

，求圖中陰影部分的面積．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)切線的性質(zhì)得到∠OAF=90°，又∠F=30°所以∠AOD=60°，然后利用三角形外角的性質(zhì)求出∠C的度數(shù)；
（2）分析題意得到圖中陰影部分的面積等于扇形OAD的面積減去三角形OAE的面積，扇形的圓心角為60°，根據(jù)AB=4

3

可以求出半徑為4，OE=2，利用扇形面積公式求出扇形的面積，利用三角形的面積公式求出三角形的面積，然后用扇形面積減去三角形的面積得到陰影部分的面積．

解答：解：（1）如圖，連接OA，
∵AF切⊙O于點A，
∴∠OAF=90°．
∵∠F=30°，
∴∠AOD=60°．
∵OA=OC，
∴∠C=∠CAO=30°；

（2）∵AB⊥直徑CD，AB=4

3

，
∴AE=2

3

，
∴在Rt△OAE中，OE=2，OA=4．
∴S_扇形AOD=

60×π×16

360

=

8π

3

，S_△AOE=

1

2

OE•AE=

1

2

×2×2

3

=2

3

．
∴S_陰影=S_扇形AOD-S_△AOE=

8π

3

-2

3

．

點評：本題考查的是扇形面積的計算，（1）根據(jù)AF是圓的切線，然后利用切線的性質(zhì)和三角形外角的性質(zhì)可以求出∠C的度數(shù)．（2）陰影部分的面積等于扇形的面積減去三角形的面積，然后利用扇形面積公式和三角形面積公式計算求出陰影部分的面積．