Question

7．如圖，頂點為A的拋物線y=a（x+2）²-4交x軸于點B（1，0），連接AB，過原點O作射線OM∥AB，過點A作AD∥x軸交OM于點D，點C為拋物線與x軸的另一個交點，連接CD．
（1）求拋物線的解析式、直線AB的解析式；
（2）若動點P從點O出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿線段OD向點D運動，同時動點Q從點C出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿線段CO向點O運動，當其中一個點停止運動時另一個點也隨之停止運動．
問題一：當t為何值時，△OPQ為等腰三角形？
問題二：當t為何值時，四邊形CDPQ的面積最小？并求此時PQ的長．

Answer 1

分析 （1）把點B坐標代入拋物線解析式即可求出a的值，寫出頂點A的坐標，運用待定系數(shù)法即可求出直線AB的解析式；
（2）問題一，先用t表示OQ，OP的長度，再分類列出方程求解即可得出t的值，問題二：寫出四邊形面積關于t的二次函數(shù)，求最大值即可．

解答 解：（1）由頂點為A的拋物線y=a（x+2）²-4交x軸于點B（1，0）可得：
0=a（1+2）²-4，解得：a=$\frac{4}{9}$，
∴拋物線的解析式：$y=\frac{4}{9}（x+2）^{2}-4$，
頂點A（-2，-4），
設直線AB：y=bx+k，帶入點A，B兩點坐標得：$\left\{\begin{array}{l}{-4=-2b+k}\\{0=b+k}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=\frac{4}{3}}\\{k=-\frac{4}{3}}\end{array}\right.$，
∴直線AB的解析式：y=$\frac{4}{3}x-\frac{4}{3}$，
（2）如圖：

∵OD∥AB，所以得直線OD：y=$\frac{4}{3}x$，
∵AD∥x軸，解得點D（-3，-4），
解得OD=5，tan∠COD=$\frac{4}{3}$，sin∠COD=$\frac{4}{5}$，cos∠COD=$\frac{3}{5}$，
把y=0帶入拋物線解析式得：0=$\frac{4}{9}（x+2）^{2}-4$，
解得：x=1，或x=-5，
所以點C（-5，0），
∴OC=5，
由2t≤5，得t≤2.5，
OP=t，OQ=5-2t，
當OP=OQ時，有：t=5-2t，解得t=$\frac{5}{3}$，
當OQ=QP時，有：t=2（5-2t）×$\frac{3}{5}$，解得t=$\frac{30}{17}$，
當QP=OP時，有：5-2t=2t×$\frac{3}{5}$，解得t=$\frac{25}{16}$，
綜上所述，當t為$\frac{5}{3}$，$\frac{30}{17}$，$\frac{25}{16}$時，△OPQ為等腰三角形；
四邊形CDPQ的面積=S_△QCD-S_△OQP=$\frac{1}{2}$×5×4-$\frac{1}{2}$×（5-2t）×t×$\frac{4}{5}$=$\frac{4}{5}{t}^{2}-2t+10$，
所以當t=$-\frac{-2}{2×\frac{4}{5}}$=$\frac{5}{4}$時，四邊形CDPQ的面積有最小值，
此時，OQ=$\frac{5}{2}$，OP=$\frac{5}{4}$，sin∠COD=$\frac{4}{5}$，cos∠COD=$\frac{3}{5}$，
可求得PQ=$\frac{\sqrt{65}}{4}$．

點評 此題主要考查二次函數(shù)的綜合問題，會運用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，會分類等腰三角形的問題，會構(gòu)造二次函數(shù)解解決面積的最值問題，會解直角三角形是解題的關鍵．