Question

19．一串?dāng)?shù)：$\frac{1}{1}$，$\frac{1}{2}$，$\frac{2}{2}$，$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{3}$，$\frac{2}{3}$，$\frac{3}{3}$，$\frac{2}{3}$，$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{4}$，…
（1）第800個(gè)數(shù)是多少？
（2）$\frac{5}{17}$是第幾個(gè)數(shù)？
（3）前552個(gè)數(shù)的和是多少？
（4）前n個(gè)數(shù)的和能否等于106，如果能，試求出n的值，如果不能，試說明理由．

Answer 1

分析 分母是1的分?jǐn)?shù)有1個(gè)，分母是2的分?jǐn)?shù)由3個(gè)，分母是3的分?jǐn)?shù)有5個(gè)，…分母是n的分?jǐn)?shù)有2n-1個(gè)；分子都是從1開始到與分母的數(shù)字相同連續(xù)的自然數(shù)，再倒數(shù)回到1，由此規(guī)律解決問題：
（1）首先要計(jì)算第800個(gè)數(shù)之前最大的平方是：當(dāng)n=28時(shí)，n²=784，第784個(gè)數(shù)是分母為28的最后一個(gè)數(shù)，
所以可以找到第800個(gè)數(shù)；
（2）先找分母是16的最后一個(gè)數(shù)是第16²個(gè)數(shù)，16²=256，再向右數(shù)5個(gè)即可，因?yàn)橥�一個(gè)分母的數(shù)除中間為1的數(shù)是一個(gè)外，其余都是2個(gè)，所以倒數(shù)第5個(gè)數(shù)也是$\frac{5}{17}$，得出結(jié)論；
（3）同（1）同理，先計(jì)算第552個(gè)數(shù)之前最大的平方數(shù)：當(dāng)n=23時(shí)，n²=529，先計(jì)算分母為1至23的所有分?jǐn)?shù)之和：1+2+3+…+23的值，再確定第529到552之間數(shù)的和，最后相加即可；
（4）因?yàn)榉帜笧閚的分?jǐn)?shù)有2n-1個(gè)，且這2n-1個(gè)分?jǐn)?shù)相加和為n．所以前分母為n的分?jǐn)?shù)之和=$\frac{n（n+1）}{2}$，確定當(dāng)n為最大時(shí)，最接近106時(shí)的n=14，即前196個(gè)數(shù)的和=$\frac{14×15}{2}$=105，與106還相差1，分母為15的分?jǐn)?shù)能否達(dá)到幾個(gè)分?jǐn)?shù)和為1，來判斷．

解答 解：觀察數(shù)列$\frac{1}{1}$，$\frac{1}{2}$，$\frac{2}{2}$，$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{3}$，$\frac{2}{3}$，$\frac{3}{3}$，$\frac{2}{3}$，$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{4}$，…，
可發(fā)現(xiàn)：分母為1的分?jǐn)?shù)有1個(gè)，分母為2的數(shù)有3個(gè)，分母為3的數(shù)有5個(gè)，
∴可得出：分母為n的分?jǐn)?shù)有2n-1個(gè)，且這2n-1個(gè)分?jǐn)?shù)相加和為n．
第1²個(gè)是分母為1的最后一個(gè)，
第2²個(gè)是分母為2的最后一個(gè)，
…
第n²個(gè)是分母n的最后一個(gè)
（1）∵1+3+5+…+2n-1=n²，
∴令n²≤800，
解得：n≤28，
當(dāng)n=28時(shí)，n²=784，
∴第784個(gè)數(shù)是分母為28的最后一個(gè)數(shù)，
∴第800個(gè)數(shù)的分母為29，分子為800-784=16，
∴第800個(gè)數(shù)為$\frac{16}{29}$．
（2）∵16²+5=256+5=261，
17²-4=289-4=285，
∴$\frac{5}{17}$是第261個(gè)數(shù)或第285個(gè)數(shù)．
（3）令n²≤552，
解得：n≤23，
當(dāng)n=23時(shí)，n²=529，
即前529個(gè)數(shù)的和=1+2+3+…+23=24×11+12=276，
第530至第552個(gè)數(shù)之間一共有：552-530+1=23個(gè)數(shù)，
第530至第552個(gè)數(shù)的和為：$\frac{1}{24}$+$\frac{2}{24}$+$\frac{3}{24}$+…+$\frac{23}{24}$=$\frac{276}{24}$=11.5，
∴前552個(gè)數(shù)的和是：276+11.5=287.5；
（4）分母為n時(shí)，前n²個(gè)數(shù)的和為：$\frac{n（n+1）}{2}$，
當(dāng)n=14時(shí)，前14²=196個(gè)數(shù)的和為：$\frac{14×15}{2}$=105，
第197個(gè)數(shù)開始為分母是15的數(shù)：$\frac{1}{15}$+$\frac{2}{15}$+$\frac{3}{15}$+$\frac{4}{15}$+$\frac{5}{15}$=1，
105+1=106，
所以存在前n個(gè)數(shù)的和等于106，此時(shí)n=196+5=201．

點(diǎn)評(píng) 此題考查數(shù)字的變化規(guī)律，難度較大，找出數(shù)字之間的聯(lián)系，得出規(guī)律，解決問題．