Question

（2013•青銅峽市模擬）已知：如圖①，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm，點P由B出發(fā)沿BA方向向點A勻速運動，速度為1cm/s；點Q由A出發(fā)沿AC方向向點C勻速運動，速度為2cm/s；連接PQ．若設(shè)運動的時間為t（s）（0＜t＜2），解答下列問題：
（1）當(dāng)t為何值時，PQ∥BC？
（2）設(shè)△AQP的面積為y（cm²），求y與t之間的函數(shù)關(guān)系式；
（3）如圖②，連接PC，并把△PQC沿QC翻折，得到四邊形PQP′C，那么是否存在某一時刻t，使四邊形PQP′C為菱形？若存在，求出此時t的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)PQ∥BC時，我們可得出三角形APQ和三角形ABC相似，那么可得出關(guān)于AP，AB，AQ，AC的比例關(guān)系，我們觀察這四條線段，已知的有AC，根據(jù)P，Q的速度，可以用時間t表示出AQ，BP的長，而AB可以用勾股定理求出，這樣也就可以表示出AP，那么將這些數(shù)值代入比例關(guān)系式中，即可得出t的值．
（2）求三角形APQ的面積就要先確定底邊和高的值，底邊AQ可以根據(jù)Q的速度和時間t表示出來．關(guān)鍵是高，可以用AP和∠A的正弦值來求．AP的長可以用AB-BP求得，而sinA就是BC：AB的值，因此表示出AQ和AQ邊上的高后，就可以得出y與t的函數(shù)關(guān)系式．
（3）我們可通過構(gòu)建相似三角形來求解．過點P作PM⊥AC于M，PN⊥BC于N，那么PNCM就是個矩形，解題思路：通過三角形BPN和三角形ABC相似，得出關(guān)于BP，PN，AB，AC的比例關(guān)系，即可用t表示出PN的長，也就表示出了MC的長，要想使四邊形PQP'C是菱形，PQ=PC，根據(jù)等腰三角形三線合一的特點，QM=MC，這樣有用t表示出的AQ，QM，MC三條線段和AC的長，就可以根據(jù)AC=AQ+QM+MC來求出t的值．

解答：解：（1）在Rt△ABC中，AB=

BC2+AC2

，
由題意知：AP=5-t，AQ=2t，若PQ∥BC，則△APQ∽△ABC，
∴

AQ

AC

=

AP

AB

，∴

2t

4

=

5-t

5

，
∴t=

10

7

．所以當(dāng)t=

10

7

時，PQ∥BC．

（2）過點P作PH⊥AC于H．
∵△APH∽△ABC，
∴

PH

BC

=

AP

AB

，
∴

PH

3

=

5-t

5

，
∴PH=3-

3

5

t，
∴y=

1

2

×AQ×PH=

1

2

×2t×（3-

3

5

t）=-

3

5

t²+3t．

（3）過點P作PM⊥AC于M，PN⊥BC于N，
若四邊形PQP'C是菱形，那么PQ=PC．
∵PM⊥AC于M，
∴QM=CM．
∵PN⊥BC于N，易知△PBN∽△ABC．
∴

PN

AC

=

BP

AB

，∴

PN

4

=

t

5

，
∴PN=

4t

5

，
∴QM=CM=

4t

5

，
∴

4

5

t+

4

5

t+2t=4，解得：t=

10

9

．
∴當(dāng)t=

10

9

s時，四邊形PQP'C是菱形．

點評：本題考查了圖形結(jié)合的動態(tài)題，是近幾年考試熱點，同時考查三角形相似知識，是一道很好的綜合題．本題亮點是巧妙結(jié)合圖形綜合考查不同知識點．