Question

在學(xué)習(xí)扇形的面積公式時(shí)，同學(xué)們推得S_扇形=

nπR2

360

，并通過比較扇形面積公式與弧長公式l=

nπR

180

，得出扇形面積的另一種計(jì)算方法S_扇形=

1

2

lR．接著老師讓同學(xué)們解決兩個(gè)問題：
問題Ⅰ：求弧長為4π，圓心角為120°的扇形面積．
問題Ⅱ：某小區(qū)設(shè)計(jì)的花壇形狀如圖中的陰影部分，已知AB和CD所在圓心都是點(diǎn)O，弧AB的長為l₁，弧CD的長為l₂，AC=BD=d，求花壇的面積．
（1）請你解答問題Ⅰ；
（2）在解完問題Ⅱ后的全班交流中，有位同學(xué)發(fā)現(xiàn)扇形面積公式S_扇形=

1

2

lR類似于三角形面積公式；類比梯形面積公式，他猜想花壇的面積S=

1

2

（l₁+l₂）d．他的猜想正確嗎？如果正確，寫出推導(dǎo)過程；如果不正確，請說明理由．

Answer 1

分析：根據(jù)扇形公式之間的關(guān)系，結(jié)合已知條件推出結(jié)果．

解答：解：（1）弧長公式l=

nπR

180

，弧長為4π，圓心角為120°，則可得R=6，
S_扇形=

1

2

lR=12π．

（2）設(shè)大扇形半徑為R，小扇形半徑為r，圓心角度數(shù)為n，則由l=

nπR

180

，得R=

180l1

nπ

，r=

180l2

nπ

，
所以圖中扇形面積為：

1

2

×l1×R-

1

2

×l2×r=

1

2

l1

180l1

nπ

-

1

2

l2

180l2

nπ

=

90

nπ

(l

2 1

-

l

2 2

)=

90

nπ

(l1+l2)(l1-l2)
=

1

2

•

180

nπ

(

nπ

180

R-

nπ

180

r)(l1+l2)
=

1

2

•(l1+l2)(R-r)=

1

2

(l1+l2)d．
故猜想正確．

點(diǎn)評：本題主要考查了扇形面積公式的應(yīng)用．