Question

如圖，在直角坐標系中，點A的坐標為（-2，0），⊙P剛好與x軸相切于點A，⊙P交y的正半軸于點B，點C，且BC=4．
（1）求半徑PA的長；
（2）求證：四邊形CAPB為菱形；
（3）有一開口向下的拋物線過O，A兩點，當它的頂點不在直線AB的上方時，求函數(shù)表達式的二次項系數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）作BC的弦心距PD，則PD的長等于2，BD=BC，利用勾股定理即可求出；
（2）AP與BC平行且相等，所以是平行四邊形，又AP=PB，所以是菱形；
（3）先求出點B的坐標（0，6），寫出直線AB的解析式，再求出x=-時的函數(shù)值大于拋物線的最大值，求解不等式．
解答：（1）解：作PD⊥BC于D，根據(jù)題意PB===4，
∴半徑PA=PB=4．

（2）證明：∵⊙P剛好與x軸相切于點A
∴PA⊥x軸，
∴PA∥BC，
∵PA=BC=4，
∴四邊形CAPB是平行四邊形．
又∵AP=PB，
∴平行四邊形CAPB為菱形．

（3）解：∵BD=2，
∴點B的坐標為B（0，6），
設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b則，
解得，
∴解析式是y=x+6．
當x=-時，y=3，
此時設(shè)拋物線為y=ax²+bx+c，
根據(jù)題意
解得b=2a，
∴=-3a＜3，
解得a＞-1，
又∵拋物線開口向下，
∴-1＜a＜0．
點評：本題考查了菱形的判定和待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，還有二次函數(shù)的最值問題，數(shù)形結(jié)合也是考查點之一，所以本題綜合性較強，對學(xué)生要求比較高，因此要求在平時的學(xué)習(xí)中要不斷培養(yǎng)自己的解題能力，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)．