Question

如圖1，直線y=x與直線y=-2x+4交于點A，點P是直線OA上一動點，作PQ∥x軸交直線y=-2x+4于點Q，以PQ為邊，向下作正方形PQMN，設點P的橫坐標為t．
（1）求交點A的坐標；
（2）求點P從點O運動到點A過程中，正方形PQMN與△OAB重疊的面積S與t的函數(shù)關系式；
（3）是否存在點Q，使△OCQ為等腰三角形？若存在，請直接寫出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由題意可聯(lián)立得方程組

y=x y=-2x+4

，解此方程組即可求得交點A的坐標；
（2）由P（t，t），PQ∥x軸交直線y=-2x+4于點Q，可得Q（

4-t

2

，t），然后由當點N落在x軸上時，PN=PQ，求得t的值，然后分別從當0＜t≤

4

5

時與當

4

5

＜t≤

4

3

時去分析求解即可求得答案；
（3）首先求得點B與C的坐標，繼而求得BC的長，再分別從若CQ₁=OQ₁，若OC=CQ=4與若OQ₄=OC=4時去分析求解即可求得答案．

解答：解：（1）聯(lián)立得方程組

y=x y=-2x+4

，
解得：

x= 4 3 y= 4 3

，
故交點A的坐標為A（

4

3

，

4

3

）；

（2）∵P（t，t），PQ∥x軸交直線y=-2x+4于點Q，
∴Q（

4-t

2

，t），
∴PQ=

4-t

2

-t=

4-3t

2

，
當點N落在x軸上時，
∵PN=PQ
∴t=

4-3t

2

，
解得：t=

4

5

，
①當0＜t≤

4

5

時，S=t•

4-3t

2

=-

3

2

t²+2t；
②當

4

5

＜t≤

4

3

時，S=PQ²=（

4-3t

2

）²=

9

4

t²-6t+4；

（3）存在點Q，使△OCQ為等腰三角形．
∵點C是直線y=-2x+4與y軸的交點，與x軸交于點B，
∴點C（0，4），B（2，0），
即OC=4，OB=2，
∴BC=

OC2+OB2

=2

5

，
①若CQ₁=OQ₁，過點Q₁作Q₁D⊥OC，
則OD=

1

2

OC=2，
當y=2時，即-2x+4=2，
解得：x=1，
∴點Q₁（1，2）；
②若OC=CQ=4，
過點Q₂作Q₂E⊥OC于點E，則Q₂E∥OB，
∴△CQ₂E∽△CBO，
∴

Q2E

OB

=

CQ2

BC

，
即

Q2E

2

=

4

2 5

，
解得：Q₂E=

4 5

5

，
∴當x=

4 5

5

時，y=-2×

4 5

5

+4=4-

8 5

5

，
∴點Q₂（

4 5

5

，4-

8 5

5

）；
同理：點Q₃（-

4 5

5

，4+

8 5

5

）；
③若OQ₄=OC=4時，過點Q₄作Q₄F⊥x軸，
設點Q₄（x，-2x+4），
∴x²+（-2x+4）²=16，
解得：x=

16

5

，x=0（舍去），
∴點Q₄（

16

5

，-

12

5

）；
綜上可得：一共有4個點滿足，分別為：Q₁（1，2），Q₂（

4 5

5

，4-

8 5

5

），Q₃（-

4 5

5

，4+

8 5

5

），Q₄（

16

5

，-

12

5

）．

點評：此題考查了一次函數(shù)的性質、正方形的性質、相似三角形的判定與性質以及等腰三角形的性質．此題難度較大，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結合思想、分類討論思想與方程思想的應用．