Question

武漢歡樂谷要建一個圓形噴水池，如圖所示，計劃在噴水池的周邊靠近水面的位置安裝一圓噴水頭，時噴出的水柱在離池中心4m處達(dá)到最高，高度為6m，另外還要再噴水池的中心設(shè)計一個裝飾水壇，使各方向噴來的水柱在此匯合，已知裝飾水壇的高度為
m．
（1）建立平面直角坐標(biāo)系，使拋物線水柱最高坐標(biāo)為（4，6），裝飾水壇最高坐標(biāo)為（0，），求圓形噴水池的半徑．
（2）為防止游客戲水出現(xiàn)危險，公園再噴水池內(nèi)設(shè)置了一個六方形隔離網(wǎng)．如圖，若該六邊形被圓形噴水池的直徑AB平分為兩個相同的等腰梯形，那么，當(dāng)該等腰梯形的腰AD長為多少時，該梯形周長最大？

Answer 1

解：（1）設(shè)拋物線的解析式為：y=a（x-h）²+k，
由題意可知：h=4，k=6，
∴y=a（x-4）²+6，
∵裝飾水壇最高坐標(biāo)為（0，），
∴當(dāng)x=0時，y=，
代入得：=16a+6，
解得：a=-，
∴y=-（x-4）²+6，
令y=0，則-（x-4）²+6=0，
解得：x=10或-2（舍），
∴圓形噴水池的半徑為10米；

（2）連接OD，則三角形AOD是等邊三角形，由題意可知當(dāng)六邊形的六個頂點(diǎn)都在圓上時，則梯形周長最大，
∵AD=OD=AO=10米，
∴梯形ADCB的周長為10+10+10+20=50米，
∴該等腰梯形的腰AD長為10米時，該梯形周長最大為50米．
分析：（1）根據(jù)已知得出二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)，即可利用頂點(diǎn)式得出二次函數(shù)解析式，令y=0，則-（x-4）²+6=0，求出x的值即可得出答案．
（2）連接OD，則三角形AOD是等邊三角形，由題意可知當(dāng)六邊形的六個頂點(diǎn)都在圓上時，則梯形周長最大，計算即可．
點(diǎn)評：此題主要考查了二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，根據(jù)實(shí)際問題運(yùn)用二次函數(shù)最大值求二次函數(shù)解析式，此題為數(shù)學(xué)建模題，借助二次函數(shù)解決實(shí)際問題．