Question

如圖，已知梯形ABCD的下底邊長AB=8cm，上底邊長DC=1cm，O為AB的中點，梯形的高DO=4cm．動點P自A點出發(fā)，在AB上勻速運行，動點Q自點B出發(fā)，沿B→C→D→A勻速運行，速度均為每秒1個單位，當其中一個動點到達終點時，另一動點也同時停止運動．設點P運動t（秒）時，△OPQ的面積為S（不能構成△OPQ的動點除外）．
（1）求S隨t變化的函數關系式及t的取值范圍；
（2）當t為何值時S的值最大？說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）先分別求出當0＜t＜4時，當4＜t≤5時，當5＜t≤6時，當6＜t≤8時，△OPQ的底邊和高，再根據面積公式即可求出S隨t變化的函數關系式；
（2）分別求出當0＜t＜4時，當4＜t≤5時，當5＜t≤6時，當6＜t≤8時，S_△OPQ的最大值，然后找出四個結果中最大的即可．
解答：解：（1）過點C作CE⊥AB，垂足為E，
∵CD=1，
∴OE=1，
∵O為AB的中點，AB=8，
∴OB=OA=4，
∴EB=4-1=3，
∵OD=4，
∴CE=4，
∴BC=5，
①如圖（1），當0＜t＜4時，點Q在BC上，點P在點O左側時，
過點Q作QF⊥AB，

則PO=4-t，BQ=t，
=，
=，
QF=t，
S_△OPQ=PO•QF=（4-t）t=t-t²；
②如圖（2），當4＜t≤5時，

OP=t-4，QF=t，
S_△OPQ=PO•QF=（t-4）t=t²-t；
③如圖（3），當5＜t≤6時，

OP=t-4，QF=4，
S_△OPQ=PO•QF=（t-4）×4=2t-8；
④如圖（4），當6＜t≤8時，

∵OA=OD=4
∴AD==4，
∴AD+CD+CB=4+1+5=6+4，
∴AQ=6+4-t，
∵=，
∴=，
∴QF==4-（t-6），
∴S_△OPQ=PO•QF=（t-4）×[4-（t-6）]=t²+t-8-6；

（2）當0＜t＜4時，t=2S_△OPQ最大，S_△OPQ的最大值為；
當4＜t≤5時，t=5S_△OPQ最大，S_△OPQ的最大值為2；
當5＜t≤6時，t=6S_△OPQ最大，S_△OPQ的最大值為4；
當6＜t≤8時，t=5+2S_△OPQ最大，S_△OPQ的最大值為2+，
則t=5+2S_△OPQ最大，S_△OPQ的最大值為2+．
點評：此題考查了相似形的綜合，用到的知識點是相似三角形的判定與性質、二次函數的最值、勾股定理等，關鍵是根據題意畫出符合要求的所有圖形．