Question

如圖1，設(shè)拋物線y=x²-交x軸于A，B兩點(diǎn)，頂點(diǎn)為D．以BA為直徑作半圓，圓心為M，半圓交y軸負(fù)半軸于C．
（1）求拋物線的對稱軸；
（2）將△ACB繞圓心M順時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°，得到三角形APB，如圖2．求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）有一動(dòng)點(diǎn)Q在線段AB上運(yùn)動(dòng)，△QCD的周長在不斷變化時(shí)是否存在最小值？若存在，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)拋物線的對稱軸公式即可得出所求的結(jié)果．
（2）可先根據(jù)拋物線的解析式求出A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)，過P作PE⊥x軸于E，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)不難得出BE=OA，PE=OC，由此可求出P點(diǎn)的坐標(biāo)．
（3）本題的關(guān)鍵是找出Q點(diǎn)的位置，取C關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)C′，連接C′D與x軸的交點(diǎn)就是Q點(diǎn)．可先求出直線C′D的函數(shù)解析式，進(jìn)而可得出Q點(diǎn)的坐標(biāo)．
解答：解：（1）由題意可知：拋物線的對稱軸為x=1．

（2）過P作PE⊥x軸于E，則有△PEB≌△OAC
易知A（-1，0）、B（3，0）、
C（0，-）．
∴OA=BE=1，OB=AE=3，EP=OC=
∴OE=OB-BE=2
即P點(diǎn)坐標(biāo)為（2，）．

（3）設(shè)C關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為C′（0，），
已知拋物線頂點(diǎn)D（1，-1）．
設(shè)直線C′D的解析式為y=kx+，則有：
k+=-1，k=-1-
因此直線CD的解析式為y=（-1-）x+．
令y=0，則x=
∴Q點(diǎn)坐標(biāo)為（，0）．
點(diǎn)評：本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識點(diǎn)，（3）題找出Q點(diǎn)的位置是解題的關(guān)鍵．