Question

（2012•重慶）已知：如圖，在菱形ABCD中，F(xiàn)為邊BC的中點(diǎn)，DF與對(duì)角線AC交于點(diǎn)M，過M作ME⊥CD于點(diǎn)E，∠1=∠2．
（1）若CE=1，求BC的長(zhǎng)；
（2）求證：AM=DF+ME．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)菱形的對(duì)邊平行可得AB∥CD，再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得∠1=∠ACD，所以∠ACD=∠2，根據(jù)等角對(duì)等邊的性質(zhì)可得CM=DM，再根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得CE=DE，然后求出CD的長(zhǎng)度，即為菱形的邊長(zhǎng)BC的長(zhǎng)度；
（2）先利用“邊角邊”證明△CEM和△CFM全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得ME=MF，延長(zhǎng)AB交DF于點(diǎn)G，然后證明∠1=∠G，根據(jù)等角對(duì)等邊的性質(zhì)可得AM=GM，再利用“角角邊”證明△CDF和△BGF全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得GF=DF，最后結(jié)合圖形GM=GF+MF即可得證．

解答：（1）解：∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，
∴∠1=∠ACD，
∵∠1=∠2，
∴∠ACD=∠2，
∴MC=MD，
∵M(jìn)E⊥CD，
∴CD=2CE，
∵CE=1，
∴CD=2，
∴BC=CD=2；

（2）證明：如圖，∵F為邊BC的中點(diǎn)，
∴BF=CF=

1

2

BC，
∴CF=CE，
在菱形ABCD中，AC平分∠BCD，
∴∠ACB=∠ACD，
在△CEM和△CFM中，
∵

CE=CF ∠ACB=∠ACD CM=CM

，
∴△CEM≌△CFM（SAS），
∴ME=MF，
延長(zhǎng)AB交DF的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，
∵AB∥CD，
∴∠G=∠2，
∵∠1=∠2，
∴∠1=∠G，
∴AM=MG，
在△CDF和△BGF中，
∵

∠G=∠2 ∠BFG=∠CFD(對(duì)頂角相等) BF=CF

，
∴△CDF≌△BGF（AAS），
∴GF=DF，
由圖形可知，GM=GF+MF，
∴AM=DF+ME．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了菱形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等角對(duì)等邊的性質(zhì)，作出輔助線構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵．