Question

如圖，在內(nèi)切的兩圓中，設(shè)C為小圓的圓心，O為大圓的圓心，P為切點(diǎn)，⊙O的弦PQ和⊙C相交于R，過點(diǎn)R作⊙C的切線與⊙O交于A、B兩點(diǎn)，求證：Q是弧AB的中點(diǎn)．

Answer 1

【答案】分析：此題根據(jù)兩圓相切，切點(diǎn)一定在連心線上，可以作輔助線．連接過切點(diǎn)的半徑可以得到直角．要證明弧相等，結(jié)合垂徑定理的推論，只需證明OQ⊥AB．所以根據(jù)同位角相等，證明出OQ∥CR，此題可解．
解答：證明：連接OC并延長，則延長線必經(jīng)過切點(diǎn)P，連接CR；
∵CP=CR，
∴∠P=∠CRP．
∵OP=OQ，
∴∠P=∠Q．
∴∠CRP=∠Q．
∴CR∥OQ．
∵AB與⊙O相切于點(diǎn)R，
∴CR⊥AB．
∴OQ⊥AB．
∴Q是弧AB的中點(diǎn)．
點(diǎn)評：此題綜合運(yùn)用了兩圓相切的性質(zhì)、切線的性質(zhì)定理、平行線的判定定理、等邊對等角以及垂徑定理的推論．