Question

（2012•鎮(zhèn)江）邊長為a的等邊三角形，記為第1個(gè)等邊三角形，取其各邊的三等分點(diǎn)，順次連接得到一個(gè)正六邊形，記為第1個(gè)正六邊形，取這個(gè)正六邊形不相鄰的三邊中點(diǎn)，順次連接又得到一個(gè)等邊三角形，記為第2個(gè)等邊三角形，取其各邊的三等分點(diǎn)，順次連接又得到一個(gè)正六邊形，記為第2個(gè)正六邊形（如圖），…，按此方式依次操作，則第6個(gè)正六邊形的邊長為（　�。�

• A．

  1

  3

  ×(

  1

  2

  )5a
• B．

  1

  2

  ×(

  1

  3

  )5a
• C．

  1

  3

  ×(

  1

  2

  )6a
• D．

  1

  2

  ×(

  1

  3

  )6a

Answer 1

分析：連接AD、DB、DF，求出∠AFD=∠ABD=90°，根據(jù)HL證兩三角形全等得出∠FAD=60°，求出AD∥EF∥GI，過F作FZ⊥GI，過E作EN⊥GI于N，得出平行四邊形FZNE得出EF=ZN=

1

3

a，求出GI的長，求出第一個(gè)正六邊形的邊長是

1

3

a，是等邊三角形QKM的邊長的

1

3

；同理第二個(gè)正六邊形的邊長是等邊三角形GHI的邊長的

1

3

；求出第五個(gè)等邊三角形的邊長，乘以

1

3

即可得出第六個(gè)正六邊形的邊長．

解答：解：連接AD、DF、DB．
∵六邊形ABCDEF是正六邊形，
∴∠ABC=∠BAF=∠AFE，AB=AF，∠E=∠C=120°，EF=DE=BC=CD，
∴∠EFD=∠EDF=∠CBD=∠BDC=30°，
∵∠AFE=∠ABC=120°，
∴∠AFD=∠ABD=90°，
在Rt△ABD和RtAFD中

AF=AB AD=AD

∴Rt△ABD≌Rt△AFD（HL），
∴∠BAD=∠FAD=

1

2

×120°=60°，
∴∠FAD+∠AFE=60°+120°=180°，
∴AD∥EF，
∵G、I分別為AF、DE中點(diǎn)，
∴GI∥EF∥AD，
∴∠FGI=∠FAD=60°，

∵六邊形ABCDEF是正六邊形，△QKM是等邊三角形，
∴∠EDM=60°=∠M，
∴ED=EM，
同理AF=QF，
即AF=QF=EF=EM，
∵等邊三角形QKM的邊長是a，
∴第一個(gè)正六邊形ABCDEF的邊長是

1

3

a，即等邊三角形QKM的邊長的

1

3

，
過F作FZ⊥GI于Z，過E作EN⊥GI于N，
則FZ∥EN，
∵EF∥GI，
∴四邊形FZNE是平行四邊形，
∴EF=ZN=

1

3

a，
∵GF=

1

2

AF=

1

2

×

1

3

a=

1

6

a，∠FGI=60°（已證），
∴∠GFZ=30°，
∴GZ=

1

2

GF=

1

12

a，
同理IN=

1

12

a，
∴GI=

1

12

a+

1

3

a+

1

12

a=

1

2

a，即第二個(gè)等邊三角形的邊長是

1

2

a，與上面求出的第一個(gè)正六邊形的邊長的方法類似，可求出第三個(gè)正六邊形的邊長是

1

3

×

1

2

a；
同理第第三個(gè)等邊三角形的邊長是

1

2

×

1

2

a，與上面求出的第一個(gè)正六邊形的邊長的方法類似，可求出第三個(gè)正六邊形的邊長是

1

3

×

1

2

×

1

2

a；
同理第四個(gè)等邊三角形的邊長是

1

2

×

1

2

×

1

2

a，第四個(gè)正六邊形的邊長是

1

3

×

1

2

×

1

2

×

1

2

a；
第五個(gè)等邊三角形的邊長是

1

2

×

1

2

×

1

2

×

1

2

a，第五個(gè)正六邊形的邊長是

1

3

×

1

2

×

1

2

×

1

2

×

1

2

a；
第六個(gè)等邊三角形的邊長是

1

2

×

1

2

×

1

2

×

1

2

×

1

2

a，第六個(gè)正六邊形的邊長是

1

3

×

1

2

×

1

2

×

1

2

×

1

2

×

1

2

a，
即第六個(gè)正六邊形的邊長是

1

3

×(

1

2

)5a，
故選A．

點(diǎn)評：本題考查了正六邊形、等邊三角形的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)和判定、全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，能總結(jié)出規(guī)律是解此題的關(guān)鍵，題目具有一定的規(guī)律性，是一道有一定難度的題目．