Question

如圖，O是圓心，AB是半圓的直徑，CD⊥AB，DE⊥OC，如果BD、CD的長都是有理數，那么圖中長為有理數的線段還有________條．

Answer 1

9
分析：連接AC，BC，證△ADC∽△CDB，得到比例式，求出AD、OA、OB、OC、OD都是有理數，證△CDE∽△COD，得到比例式，求出CE、OE是有理數，根據三角形的面積公式求出DE是有理數，即可得到答案．
解答：解：如右圖，連接AC，BC，
∵AB是圓的直徑，
∴∠ACB=90°，
∵CD⊥AB，
∴∠A=∠CDA=∠CDB=90°，∠A+∠ACD=90°，∠ACD+∠BCD=90°，
∴∠A=∠BCD，
∴△ADC∽△CDB，
∴=，
CD²=AD•BD，
∵BD、CD的長都是有理數，
∴AD是有理數，
∵AB=AD+BD，
∴AB是有理數，
∴OA、OB、OC、OD都是有理數，
∵CD⊥OD，DE⊥OC，
∴∠CDO=∠CED=90°，
∵∠DCE=∠DCO，
∴△CDE∽△COD，
∴=，
CD²=CE•OC，
∵CD、OC是有理數，
∴CE是有理數，
∴OE是有理數，
根據三角形的面積公式得：CD×OD=OC×DE，
∴DE是有理數．
綜上可知：AD、AB、OA、OB、OC、OD、DE、OE、CE的長為有理數，
故答案為：9．
點評：本題主要考查對圓周角定理，三角形的面積，相似三角形的性質和判定等知識點的理解和掌握，綜合運用這些性質進行推理是解此題的關鍵．