Question

已知2^a•5^b=2^c•5^d=10，求證：（a-1）（d-1）=（b-1）（c-1）．

Answer 1

證明：∵2^a•5^b=10=2×5，
∴2^a-1•5^b-1=1，
∴（2^a-1•5^b-1）^d-1=1^d-1，①
同理可證：（2^c-1•5^d-1）^b-1=1^b-1，②
由①②兩式得2^{（a-1）（d-1）}•5^{（b-1）（d-1）}=2^{（c-1）（b-1）}•5^{（d-1）（b-1）}，
即2^{（a-1）（d-1）}=2^{（c-1）（b-1）}，
∴（a-1）（d-1）=（b-1）（c-1）．
分析：由2^a•5^b=10，首先把10轉(zhuǎn)化為2×5的形式，據(jù)同底數(shù)冪的除法，底數(shù)不變指數(shù)相減可以得到一個(gè)關(guān)于指數(shù)ab等于1的等式，根據(jù)等式乘方原則等式兩邊同時(shí)乘方d-1等式仍成立；同理可得到一個(gè)關(guān)于指數(shù)cd的等于1等式，根據(jù)等式乘方原則等式兩邊同時(shí)乘方b-1等式仍成立．兩個(gè)等式聯(lián)立相等，即可得到結(jié)論．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了同底數(shù)冪的除法，同底數(shù)冪的乘法，冪的乘方等知識(shí)點(diǎn)，各知識(shí)點(diǎn)很容易混淆，一定要記準(zhǔn)法則才能解題．