Question

如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，點D是BC的中點，且∠B+∠ADC=90°，過點B、D作⊙O，使圓心D在AB上，⊙O交AB于點E．
（1）求證：直線AD與⊙0相切；
（2）若AC=6，求AE的長．

Answer 1

（1）證明：連接OD，DE，
∵OD=OB，
∴∠B=∠BDO，
∵∠B+∠ADC=90°，
∴∠ADC+∠BDO=90°，
∴∠ADO=180°-90°=90°，
∴OD⊥AD，
∵OD過圓心O，
∴直線AD與⊙0相切．

（2）解：∵∠B+∠ADC=90°，∠ADC+∠CAD=90°，
∴∠CAD=∠B，
∵∠C=∠C=90°，
∴△CAD∽△CBA，
∴=，
∵D是BC中點，
∴CD=BC，
∴AC²=BC²，
∵AC=6，
∴BC=6，
∴由勾股定理得：AB==6，
∵BE是直徑，∠C=90°，
∴∠BDE=∠C=90°，
∴DE∥AC，
∵D為BC中點，
∴E為AB中點，
∴AE=AB=3．
答：AE的長是3．
分析：（1）連接OD，根據(jù)已知得出∠CDA+∠BDO=90°，求出∠ADO=90°，根據(jù)切線的判定推出即可；
（2）求出DE∥AC，推出DE是△ACB的中位線，推出AE=BE=AB，證△CAD∽△CBA，得出比例式，求出BC，根據(jù)勾股定理求出AB即可．
點評：本題考查了切線的判定，相似三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理，平行線分線段成比例定理等知識點的運用，（1）小題的關(guān)鍵是連接OD后證出OD⊥AD，（2）小題的關(guān)鍵是求出BC的長，題目比較好，有一定的難度．