Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，半徑為1的動圓圓心M從A點出發(fā)，沿著AB方向以1個單位長度/每秒的速度勻速運動，同時動點N從點B出發(fā)，沿著BD方向也以1個單位長度/每秒的速度勻速運動，設(shè)運動的時間為t秒（0≤t≤2.5），以點N為圓心，NB的長為半徑的⊙N與BD，AB的交點分別為E，F，連結(jié)EF，ME．

（1）①當t＝　 　秒時，⊙N恰好經(jīng)過點M；②在運動過程中，當⊙M與△ABD的邊相切時，t＝　 　秒；

（2）當⊙M經(jīng)過點B時，①求N到AD的距離；②求⊙N被AD截得的弦長；

（3）若⊙N與線段ME只有一個公共點時，直接寫出t的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）①，②1或；（2）①，②；（3）0＜t≤或＜t≤

【解析】

（1）①⊙N恰好經(jīng)過點M即NM=NF=BN，過點N作NG⊥AB于G，連接NF，利用等腰三角形性質(zhì)即可求得；②⊙M與△ABD的邊相切可以有兩種情況：⊙M與AD相切或⊙M與BD相切，利用切線性質(zhì)和相似三角形性質(zhì)可得結(jié)論；

（2）①過點N作NP⊥AD于點P，利用相似三角形性質(zhì)即可；②由垂徑定理可得：GH=2GP，利用勾股定理可求得GP；

（3）⊙N與線段EM只有一個公共點，可以有兩種情況：①點M在⊙N的外部，②點M在⊙N的內(nèi)部．

（1）①如圖1，過點N作NG⊥AB于G，連接NF，AM=t，BM=3﹣t，

∵⊙N恰好經(jīng)過點M

∴點F與M重合，即：BF=BM=3﹣t，

∵NB=NF=t，

∴BG==（3﹣t）

∵矩形ABCD

∴∠BAD=90° AD=BC=4

∴BD===5

∵NG⊥AB

∴∠BGN=90°=∠BAD

∴NG∥AD

∴△BNG∽△BDA

∴==，即5×（3﹣t）=3t，解得：t=

故答案為：

②當⊙M與AD相切時，AM=1，∴t=1

當⊙M與BD相切時，EM⊥BD，且ME=1，∵sin∠ABD===

∴4（3﹣t）=5，解得t=

故答案為：1或；

（2）①過點N作NP⊥AD于點P，當⊙M經(jīng)過點B時，AM=AB﹣MB=2

∴t=2

∴BN=2，DN=BD﹣BN=3

∵NP∥AB

∴△NDP∽△BDA

∴=

∴NP=

②設(shè)⊙N與AD交于G，H，連接NG，則NG=NB=2，

在Rt△GNP中，由勾股定理可得：GP==

∴GH=2GP=

（3）當點M在⊙N的外部時，線段EM與⊙N只有1個公共點，則∠BEM≥90°，

若∠BEM=90°，則==，即5BE=3BM

∴5×2t=3（3﹣t），解得：t=

∴0＜t≤

當點M在⊙N的內(nèi)部時，線段EM與⊙N也只有1個公共點，由①知，點F與點M重合時，t=，

∴＜t≤

故t的取值范圍為：0＜t≤或＜t≤．