Question

【題目】如圖，BD是□ABCD的對(duì)角線，AB⊥BD，BD=8cm，AD=10cm，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā)，以5cm/s的速度沿DA運(yùn)動(dòng)到終點(diǎn)A，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，沿折線BD—DC運(yùn)動(dòng)到終點(diǎn)C，在BD、DC上分別以8cm/s、6cm/s的速度運(yùn)動(dòng).過(guò)點(diǎn)Q作QM⊥AB，交射線AB于點(diǎn)M，連接PQ，以PQ與QM為邊作□PQMN.設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(s)（t>0），□PQMN與□ABCD重疊部分圖形的面積為S（cm2）.

（1）AP=_______cm（同含t的代數(shù)式表示）.

（2）當(dāng)點(diǎn)N落在邊AB上時(shí)，求t的值.

（3）求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式.

（4）連結(jié)NQ，當(dāng)NQ與△ABD的一邊平行時(shí)，直接寫出t的值.

Answer 1

【答案】（10-5t）

【解析】試題分析：（1）直接得出結(jié)論即可；

（2）當(dāng)點(diǎn)N落在邊AB上時(shí)，四邊形PNBQ為矩形，得到△APN∽△ADB，由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例解答即可；

（3）分三種情況討論：①當(dāng)PN在平行四邊形內(nèi)部時(shí)，如圖2，此時(shí)，②當(dāng)N在AB下方，Q在BD上時(shí)，此時(shí)；③當(dāng)N在AB下方，Q在DCD上時(shí)，此時(shí)．

（4）分三種情況討論．①當(dāng)NQ∥AB時(shí)，②當(dāng)AD∥NQ，且Q在BD上時(shí)，③當(dāng)AD∥NQ，且Q在DC上時(shí)．

試題解析：解：（1）（10-5t）；

（2）如圖①，當(dāng)點(diǎn)N落在邊AB上時(shí)，四邊形PNBQ為矩形．∵PN∥DB，∴△APN∽△ADB，∴AP：AD=PN：DB，∴（10－5t）：10=8t：8，120t=80，∴．

（3）分三種情況討論：

a)如圖②，過(guò)點(diǎn)P作PE⊥BD于點(diǎn)E，則PE=3t．

當(dāng)時(shí)， ．

b)如圖③，過(guò)點(diǎn)P作PE⊥BD于點(diǎn)E，則PE=3t，設(shè)PN交AB于點(diǎn)F，則．

當(dāng)時(shí)， ．

c)如圖④，當(dāng)時(shí)，PF=8-4t，FB=3t，PN=DB=QM=8，∴FN=4t，DQ=6(t-1)，∴BM=DQ=6(t-1)．∵∠GBM=∠A，∠DBA=∠GMB，∴△BGM∽△ABD，∴GM：BM=DB：AB，解得：GM=8t-8，∴S=S平行四邊形PNMQ-S△FMN-S△BMG=8（9t-6）－×4t×（9t-6）－×（6t-6）（8t-8）=．

綜上所述：

（4）分三種情況討論．

①當(dāng)NQ∥AB時(shí)，如圖5，過(guò)P作PF⊥BD于F，則PF=3t，DF=4t，PN=FQ=BQ=8t，∴BD=8t+8t+4t=8，解得： ．

②當(dāng)AD∥NQ，且Q在BD上時(shí)，如圖6．∵PNQD和PNBQ都是平行四邊形，∴PN=DQ=BQ，∴8t+8t=8，解得： ．

③當(dāng)AD∥NQ，且Q在DC上時(shí)，如圖7，可以證明當(dāng)Q與C重合，即直線NQ與直線BC重合時(shí)，滿足條件，如圖8，此時(shí)DQ=AB==6，t==2．

綜上所述： 或或．