如圖:第一象限內(nèi)的點A在一反比例函數(shù)圖象上,過點A作AB⊥x軸,垂足為B點,連接AO,已知△AOB的面積為4.①求反比例函數(shù)的解析式;②若點A的縱坐標為4,過點A的直線與x軸相交于點P,且△APB與△AOB相似,求所有符合條件的點P的坐標;③在②的條件下,求過P、O、A的拋物線的頂點坐標.

【答案】分析:(1)求反比例函數(shù)的解析式實質(zhì)求Y=中K值,因為△AOB的面積為4,所以K=8;
(2)△APB與△AOB相似,可能全等,也可能相似,所以有三個點滿足條件;
(3)欲求過P、O、A的拋物線的頂點坐標,先求其解析式,知道P、O、A三點坐標,用待定系數(shù)法易求,即解.
解答:解:①設(shè)A(xA,yA

∵XA>0,YA>0
∴xAyA=8
設(shè)
∴xAyA=k
∴k=8.
∴設(shè)比例函數(shù)解析式為.(2分)

②∵yA=4,
∴xA=2
∴A(2,4)
∴OB=2,AB=4
當∠AP1B=∠AOB時,△AOB≌△APB
∴PB=OB=2,∴P1(4,0)(3分)
當∠AP2B=∠OAB時△AOB∽△P2AB
可以由BP2=8,∴P2(10,0).(4分)
當P3在x軸負半軸上時,
且P3與P2關(guān)于點B對稱也滿足△AOB∽△P3BA
由P2(10,0),B(2,0),
∴P3(-6,0).(5分)

③當拋物線經(jīng)過P1(4,0),O(0,0),A(2,4)時
設(shè)解析式為y=ax2+bx+c

∴解析式為y=-x2+4x
∴頂點坐標是(2,4)(6分)
當拋物線經(jīng)過P2(10,0),O(0,0),A(2,4)時
設(shè)所求拋物線為y=a2x2+b2x


∴頂點坐標是(5,).(8分)
設(shè)經(jīng)過P3(-6,0),O(0,0),A(2,4)的解析式為:y=a3x2+b3x

∴拋物線的解析式是
∴頂點坐標是(3,)(10分).
點評:此題難度中等,考查反比例、二次函數(shù)的圖象性質(zhì)及用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式,以及兩三角形相似等知識點.
練習冊系列答案
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精英家教網(wǎng)如圖,第一象限內(nèi)的點A在某反比例函數(shù)的圖象上,過A作AB⊥x軸,垂足為B,連接AO,已知△AOB的面積為4.
(1)求該反比例函數(shù)的解析式;
(2)若點A的縱坐標為4,過點A的直線與x軸交于點P,且以A、P、B為頂點的三角形與△AOB相似,求所有符合條件的點P的坐標.

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如圖,第一象限內(nèi)的點A在反比例函數(shù)y=
k
x
的圖象上,且OA=
10
,OA與x軸正方向的夾角為α,tanα=
1
3
,
(1)求k的值,并求當y≤1時自變量x的取值范圍;
(2)點B(m,-2)也在反比例函數(shù)y=
k
x
的圖象上,連接AB,與x軸交于點C,若AC與x軸正方向的夾角為β,求sinβ的值;
(3)點P在x軸上,且使得△OBP為直角三角形,則P點的坐標為
 

精英家教網(wǎng)

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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

如圖,第一象限內(nèi)的點A在一反比例函數(shù)的圖象上,過A作AB⊥x軸,垂足為B,連接AO,精英家教網(wǎng)已知△AOB的面積為4.
(1)求反比例函數(shù)的解析式;
(2)若點A的縱坐標為4,過點A的直線與x軸交于P,且△APB與△AOB相似,求所有符合條件的點P的坐標;
(3)在(2)的條件下,過點P、O、A的拋物線能否由拋物線y=
1
4
x2
經(jīng)過平移得到?若能,請說明由拋物線y=
1
4
x2
如何平移得到;若不能,請說明理由.

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科目:初中數(shù)學 來源:2009-2010學年浙江省寧波市蘭江中學九年級(上)第二次段考數(shù)學試卷(解析版) 題型:解答題

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(1)求該反比例函數(shù)的解析式;
(2)若點A的縱坐標為4,過點A的直線與x軸交于點P,且以A、P、B為頂點的三角形與△AOB相似,求所有符合條件的點P的坐標.

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