Question

如圖1直線y=-

3

4

x+3與x軸、y軸交于A、B兩點(diǎn)，C點(diǎn)為線段AO上一點(diǎn)，一動(dòng)點(diǎn)P在x軸上．
（1）當(dāng)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到與原點(diǎn)O重合時(shí)，P點(diǎn)關(guān)于直線BC的對(duì)稱點(diǎn)恰好落在直線AB上，求此時(shí)PC的長(zhǎng)；
（2）如圖2，若C點(diǎn)為線段AO的中點(diǎn)，問：P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到何處，點(diǎn)P關(guān)于直線BC的對(duì)稱點(diǎn)落在直線AB上？

Answer 1

分析：過S作SR∥WQ交WZ的延長(zhǎng)線于R，由平行得到∠QWZ=∠SWZ和

WQ

SR

=

QZ

ZS

，根據(jù)等腰三角形的判定和性質(zhì)得出WS=SR和

WQ

WS

=

QZ

ZS

；
（1）把x=0和y=0代入求出A、B的坐標(biāo)，根據(jù)勾股定理求出AB，根據(jù)上式得出的規(guī)律得出

OB

AB

=

PC

CA

，代入即可求出PC；
（2）設(shè)OP=x，根據(jù)上式得出的規(guī)律得到

BP

AB

=

PC

CA

，代入得出方程

2-x

2

=

32+x2

5

，求出即可．

解答：解：過S作SR∥WQ交WZ的延長(zhǎng)線于R，
∴∠R=∠QWZ，
∵WZ平分∠QWS，
∴∠QWZ=∠SWZ，
∴∠R=∠SWZ，
∴WS=SR，
∵SR∥WQ，
∴

WQ

SR

=

QZ

ZS

，
∴

WQ

WS

=

QZ

ZS

，


（1）解：當(dāng)x=0時(shí)，y=3，
當(dāng)y=0時(shí)，x=4，
∴A（4，0），B（0，3），
∵當(dāng)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到與原點(diǎn)O重合時(shí)，P點(diǎn)關(guān)于直線BC的對(duì)稱點(diǎn)恰好落在直線AB上，
∴

OB

AB

=

PC

CA

，
即：

3

5

=

PC

4-PC

，
解得：PC=

3

2

，
答：PC的長(zhǎng)是

3

2

．

（2）解：設(shè)OP=x，
∴

BP

AB

=

PC

CA

，

2-x

2

=

32+x2

5

，
解得：x₁=4，x₂=

16

21

，
經(jīng)檢驗(yàn)x=4不是原方程的解，舍去，
答：P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到OP=

16

21

時(shí)，點(diǎn)P關(guān)于直線BC的對(duì)稱點(diǎn)落在直線AB上．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查對(duì)一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)和判定，平行線的性質(zhì)平行線分線段成比例定理，三角形的角平分線等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，綜合運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算是解此題的關(guān)鍵．題型較好，難度適中．