Question

【題目】已知：如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線與x軸、y軸的交點(diǎn)分別為A、B，將∠OBA對(duì)折，使點(diǎn)O的對(duì)應(yīng)點(diǎn)H落在直線AB上，折痕交x軸于點(diǎn)C．

（1）直接寫出點(diǎn)C的坐標(biāo)，并求過A、B、C三點(diǎn)的拋物線的解析式；

（2）若拋物線的頂點(diǎn)為D，在直線BC上是否存在點(diǎn)P，使得四邊形ODAP為平行四邊形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由；

（3）設(shè)拋物線的對(duì)稱軸與直線BC的交點(diǎn)為T，Q為線段BT上一點(diǎn)，直接寫出|QA﹣QO|的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）點(diǎn)C的坐標(biāo)為（3，0）．．（2）直線BC上不存在符合條件的點(diǎn)P，理由見解析（3）0≤|QA﹣QO|≤4．

【解析】

試題分析：（1）利用直線分別求出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，然后利用勾股定理或相似三角形的性質(zhì)求出線段OC的長即可得到點(diǎn)C的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法可求出拋物線的解析式；（2）利用平行四邊形的性質(zhì)求出符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)，然后代入直線BC的解析式為y=﹣2x+6檢驗(yàn)即可；（3）當(dāng)QA=QO時(shí)，|QA﹣QO|的值最小=0，當(dāng)Q在AH的延長線與直線BC交點(diǎn)時(shí)，此時(shí)|QA﹣QO|最大=4.

試題解析：（1）點(diǎn)C的坐標(biāo)為（3，0）．

∵點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為A（8，0），B（0，6），

∴可設(shè)過A、B、C三點(diǎn)的拋物線的解析式為y=a（x﹣3）（x﹣8）．

將x=0，y=6代入拋物線的解析式，得．

∴過A、B、C三點(diǎn)的拋物線的解析式為．

（2）可得拋物線的對(duì)稱軸為直線，頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為，

設(shè)拋物線的對(duì)稱軸與x軸的交點(diǎn)為G．

直線BC的解析式為y=﹣2x+6.

解法一：

如圖，取OA的中點(diǎn)E，

作點(diǎn)D關(guān)于點(diǎn)E的對(duì)稱點(diǎn)P，作PN⊥x軸于點(diǎn)N．

則∠PEN=∠DEG，∠PNE=∠DGE，PE=DE．

可得△PEN≌△DEG．

由，可得E點(diǎn)的坐標(biāo)為（4，0）．

NE=EG=，ON=OE﹣NE=，NP=DG=．

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為．

∵x= 時(shí)，， ∴點(diǎn)P不在直線BC上．

∴直線BC上不存在符合條件的點(diǎn)P．

解法二：如圖，作OP∥AD交直線BC于點(diǎn)P，

連接AP，作PM⊥x軸于點(diǎn)M．

∵OP∥AD，

∴∠POM=∠GAD，tan∠POM=tan∠GAD．∴，

即． 解得． 經(jīng)檢驗(yàn)是原方程的解．

此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為．

但此時(shí)，OM＜GA．

∵，

∴OP＜AD，即四邊形的對(duì)邊OP與AD平行但不相等，

∴直線BC上不存在符合條件的點(diǎn)P；

（3）|QA﹣QO|的取值范圍是．

當(dāng)Q在OA的垂直平分線上與直線BC的交點(diǎn)時(shí)，（如點(diǎn)K處），

此時(shí)OK=AK，則|QA﹣QO|=0，

當(dāng)Q在AH的延長線與直線BC交點(diǎn)時(shí)，此時(shí)|QA﹣QO|最大，

直線AH的解析式為：y=﹣x+6，直線BC的解析式為：y=﹣2x+6，

聯(lián)立可得：交點(diǎn)為（0，6），∴OQ=6，AQ=10，∴|QA﹣QO|=4，

∴|QA﹣QO|的取值范圍是：0≤|QA﹣QO|≤4．