Question

如圖，在平面直角坐標系中，點O為坐標原點．Rt△OAB的斜邊OA在x軸的正半軸上，點A的坐標為（2，0），點B在第一象限內，且OB=，∠OBA=90°．以邊OB所在直線折疊Rt△OAB，使點A落在點C處．
（1）求證：△OAC為等邊三角形；
（2）點D在x軸的正半軸上，且點D的坐標為（4，0）．點P為線段OC上一動點（點P不與點O重合），連接PA、PD．設PC=x，△PAD的面積為y，求y與x之間的函數關系式；
（3）在（2）的條件下，當x=時，過點A作AM⊥PD于點M，若k=，求證：二次函數y=-2x²-（7k-3）x+k的圖象關于y軸對稱．

Answer 1

【答案】分析：（1）∵OA=2，OB=，∠OBA=90，解直角△OAB可知∠OAB=60°，由折疊可知∠C=∠OAB=60°，故△OAC為等邊三角形；
（2）過點P作PE⊥OA于點E，以AD為底，PE為高，其中AD=2，在直角△OPE中，OP=2-x，∠POE=60°，解直角三角形可求PE，從而可表示面積；
（3）當x=時，可求線段PE、OE、ED及△PAD的面積，用勾股定理可求PD的長，用面積法可求AM長，從而可求k值，就能確定拋物線解析式了，也就能回答問題了．
解答：（1）證明：由題意可知OA=OC，
∵∠OBA=90°，OB=，A的坐標為（2，0）
∴sin∠OAB=
∴∠OAB=60°
∴△OAC為等邊三角形；

（2）解：由（1）可知OC=OA=2，∠COA=60°
∵PC=x，
∴OP=2-x
過點P作PE⊥OA于點E，在Rt△POE中，sin∠POE=
即
∴PE=（2-x）=-x+
∴S_△PAD=AD•PE=（4-2）•PE=PE
∴y=-x+；

（3）證明：當x=時，即PC=
∴OP=
在Rt△POE中，PE=OP•sin∠POE=
OE=OP•cos∠POE=
∴DE=OD-OE=4-=
∴在Rt△PDE中，PD=
又∵S_△PAD=-x+=-•+=
∴S_△PAD=PD•AM=
∴AM=，
∴k==
∴y=-2x²-（7k-3）x+k=-2x²-（7×-3）x+×
∴y=-2x²+
∵此二次函數圖象的對稱軸是直線x=0，
∴此二次函數的圖象關于y軸對稱．
點評：本題考查等邊三角形、函數解析式、三角形面積、二次函數圖象的有關知識，屬于動點與動線相結合的運動變化題目，由淺入深地設置了三個問題，是一道綜合性題目，有一定難度．