分析：（1）解直角三角形，求得點(diǎn)E到AC的距離等于
a，這是一個(gè)定值；
（2）如答圖2所示，作輔助線，將四邊形MDEN分成一個(gè)等邊三角形和一個(gè)平行四邊形，求出其周長(zhǎng)；
（3）可能存在三種情形，需要分類討論：
①若0＜a≤
，△DEF在△ABC內(nèi)部，如答圖3所示；
②若
＜a≤
，點(diǎn)E在△ABC內(nèi)部，點(diǎn)F在△ABC外部，在如答圖4所示；
③若
＜a＜3，點(diǎn)E、F均在△ABC外部，如答圖5所示．
解答：解：（1）由題意得：tanA=
=
=
，
∴∠A=60°．
∵DE∥AB，
∴∠CDE=∠A=60°．
如答圖1所示，過(guò)點(diǎn)E作EH⊥AC于點(diǎn)H，
則EH=DE•sin∠CDE=a•
=
a．
∴點(diǎn)E到AC的距離為一個(gè)常數(shù)．
（2）若AD=
，當(dāng)a=2時(shí)，如答圖2所示．
設(shè)AB與DF、EF分別交于點(diǎn)M、N．
∵△DEF為等邊三角形，∴∠MDE=60°，
由（1）知∠CDE=60°，
∴∠ADM=180°-∠MDE-∠CDE=60°，
又∵∠A=60°，
∴△ADM為等邊三角形，
∴DM=AD=
．
過(guò)點(diǎn)M作MG∥AC，交DE于點(diǎn)G，則∠DMG=∠ADM=60°，
∴△DMG為等邊三角形，
∴DG=MG=DM=
．
∴GE=DE-DG=2-
=
．
∵∠MGD=∠E=60°，∴MG∥NE，
又∵DE∥AB，
∴四邊形MGEN為平行四邊形．
∴NE=MG=
，MN=GE=
．
∴T=DE+DM+MN+NE=2+
+
+
=
．
（3）若點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到AC的中點(diǎn)處，分情況討論如下：
①若0＜a≤
，△DEF在△ABC內(nèi)部，如答圖3所示：
∴T=3a；
②若
＜a≤
，點(diǎn)E在△ABC內(nèi)部，點(diǎn)F在△ABC外部，在如答圖4所示：
設(shè)AB與DF、EF分別交于點(diǎn)M、N，過(guò)點(diǎn)M作MG∥AC交DE于點(diǎn)G．
與（2）同理，可知△ADM、△DMG均為等邊三角形，四邊形MGEN為平行四邊形．
∴DM=DG=NE=AD=
，MN=GE=DE-DG=a-
，
∴T=DE+DM+MN+NE=a+
+（a-
）+
=2a+
；
③若
＜a＜3，點(diǎn)E、F均在△ABC外部，如答圖5所示：
設(shè)AB與DF、EF分別交于點(diǎn)M、N，BC與DE、EF分別交于點(diǎn)P、Q．
在Rt△PCD中，CD=
，∠CDP=60°，∠DPC=30°，
∴PC=CD•tan60°=
×
=
．
∵∠EPQ=∠DPC=30°，∠E=60°，∴∠PQE=90°．
由（1）知，點(diǎn)E到AC的距離為
a，∴PQ=
a-
．
∴QE=PQ•tan30°=（
a-
）×
=
a-
，PE=2QE=a-
．
由②可知，四邊形MDEN的周長(zhǎng)為2a+
．
∴T=四邊形MDEN的周長(zhǎng)-PE-QE+PQ=（2a+
）-（a-
）-（
a-
）+（
a-
）=
a+
2-
．
綜上所述，若點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到AC的中點(diǎn)處，T的關(guān)系式為：
T=
| | 3a(0＜a≤) | | 2a+(＜a≤) | | a+2-(＜a＜3) |
| |
．
（2013•南通）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=
名校課堂系列答案
（2013•南通）如圖．Rt△ABC內(nèi)接于⊙O，BC為直徑，AB=4，AC=3，D是
（2013•南通）如圖，直線AB，CD相交于點(diǎn)O，OE⊥AB，∠BOD=20°，則∠COE等于
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（2013•南通）如圖，用尺規(guī)作出∠OBF=∠AOB，作圖痕跡