Question

如圖，∠C=90°，點A、B在∠C的兩邊上，CA=30，CB=20，連接AB．點P從點B出發(fā)，以每秒4個單位長度的速度沿BC方向運動，到點C停止．當點P與B、C兩點不重合時，作PD丄BC交AB于D，作DE丄AC于E，F(xiàn)為射線CB上一點，且∠CEF=∠ABC．設(shè)點P的運動時間為x（秒）．
（1）用含有x的代數(shù)式表示CE的長．
（2）求點F與點B重合時x的值．
（3）當點F在線段CB上時，設(shè)四邊形DECP與四邊形DEFB重疊部分圖形的面積為y（平方單位）．求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式．
（4）當x為某個值時，沿PD將以D、E、F、B為頂點的四邊形剪開，得到兩個圖形，用這兩個圖形拼成不重疊且無縫隙的圖形恰好是三角形．請直接寫出所有符合上述條件的x值．

Answer 1

【答案】分析：（1）首先證明△ABC∽△DBP∽△FEC，即可得出比例式進而得出表示CE的長；
（2）根據(jù)當點F與點B重合時，F(xiàn)C=BC，即可得出答案；
（3）首先證明Rt△DOE∽Rt△CEF，得出，即可得出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
（4）根據(jù)三角形邊長相等得出答案．
解答：解：（1）∵PD⊥BC，DE⊥AC，且∠C=90°，
∴四邊形DECP為矩形，
∴DE=PC，DP=EC，
又∵∠CEF=∠ABC，
∴△ABC∽△DBP∽△FEC，
∴，
∵CA=30，CB=20，BP=4x，
∴，
∴FC=9x，DP=EC=6x．

（2）當點F與點B重合時，F(xiàn)C=BC，
∴FC=BC，
∴9x=20，
解得：x=，

（3）當點F與點P重合時，4x+9x=20，
解得x=，
∵FP=BC-FC-PB=20-9x-4x=20-13x，
∵DE=PC=BC-PB=20-4x，
∴S=（DE+FP）•DP•0.5=（20-4x+20-13x）•6x×0.5=3x（40-17x）=120x-51x²；
當＜x≤時，
矩形DECP中DP∥EC，
∴∠DOE=∠FEC，
∴Rt△DOE∽Rt△CEF，
∴，
∴，
∴DO=（20-4x），
∴S=DO•DE=×（20-4x）（20-4x）=（5-x）²；

（4）①如圖③，當PD=PF時，6x=20-13x，解得：x=；△B′DE為拼成的三角形；
②如圖④當點F與點P重合時，4x+9x=20，解得：x=；△BDC為拼成的三角形；
③如圖⑤，當DE=PB，20-4x=4x，解得：x=，△DPF為拼成的三角形．
點評：此題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理和矩形的性質(zhì)與判定，根據(jù)題意得出△ABC∽△DBP∽△FEC以及Rt△DOE∽Rt△CEF是解決問題的關(guān)鍵．