Question

已知一條拋物線與y軸的交點(diǎn)為C，頂點(diǎn)為D，直線CD的解析式為y=x+3，并且線段CD的長(zhǎng)為3

2

．
（1）求這條拋物線的解析式；
（2）設(shè)（1）中的拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)A（x₁，0）、B（x₂，0），且點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)，求線段AB的長(zhǎng)；
（3）若以AB為直徑作⊙M，請(qǐng)你判斷直線CD與⊙M的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）分類討論：①拋物線過(guò)C（0，3），D₁（-3，0）時(shí)；②拋物線過(guò)C（0，3），D₂（3，6）時(shí)，利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式；
（2）利用（1）中的拋物線的圖象知：拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)只有②；然后求得該拋物線與x軸的兩個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)A（3-3

2

，0）、B（3+3

2

，0）；最后由兩點(diǎn)間的距離公式來(lái)求線段AB的長(zhǎng)；
（3）直線CD與⊙M相切．過(guò)M作MG⊥CD于G．由已知和（2）推知M（3，0），然后根據(jù)勾股定理的逆定理證得此結(jié)論．

解答：解：（1）由已知可得：C（0，3），D₁（-3，0），D₂（3，6）…2分
①拋物線過(guò)C（0，3），D₁（-3，0）時(shí)，
設(shè)y₁=a（x+3）²過(guò)（0，3）∴a=

1

3

…3分
∴y1=

1

3

(x+3)2=

1

3

x2+2x+3…4分
②拋物線過(guò)C（0，3），D₂（3，6）時(shí)
設(shè)y₂=a（x-3）²+6過(guò)（0，3）∴a=-

1

3

…5分
∴y2=-

1

3

(x-3)2+6=-

1

3

x2+2x+3…6分

（2）（1）中的拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)只有②…7分
即y2=-

1

3

(x-3)2+6=-

1

3

x2+2x+3
令y2=-

1

3

(x-3)2+6=-

1

3

x2+2x+3=0得x1=3-3

2

，x2=3+3

2

∴A（3-3

2

，0）、B（3+3

2

，0）…8分
∴|AB|=6

2

…9分
（或者不解方程，直接計(jì)算|AB|=

△

|a|

）

（3）直線CD與⊙M相切．…10分
圖象及圖形如圖所示．過(guò)M作MG⊥CD于G，
由已知和（2）知M（3，0）∴MG=CD=3

2

=

1

2

|AB|…11分
∴直線CD與⊙M相切．…12分
（答案僅參考，若有不同解法，過(guò)程和解法都正確，可相應(yīng)給分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的綜合題．解答（1）時(shí)，注意要分類討論，以防漏解．