Question

已知拋物線y=ax²+bx-1經(jīng)過點(diǎn)A（一1，0）、B（m，0）（m＞0），且與y軸交于點(diǎn)C
（1）求拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式（用含m的式子表示）；
（2）如圖，⊙M經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)，求扇形MBC（陰影部分）的面積S（用含m的式子表示）；
（3）若拋物線上存在點(diǎn)P，使得△APB∽△ABC，求m的值．

Answer 1

解：（1）∵點(diǎn)（-1，0）、（m，0）在拋物線y=ax²+bx-1上
∴，
解得
∴拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為：．

（2）在拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式中，令x=0，得y=-1，
∴點(diǎn)C坐標(biāo)為（0，-1）．
∴OA=OC，
∴∠OAC=45°，
∴∠BMC=2∠OAC=90°．
又∵BC=，∴MB=MC=BC．
∴．

（3）如圖，∵△ABC∽△APB，
∴∠PAB=∠BAC=∠45°，，
過點(diǎn)P作PD⊥x軸，垂足為D，連接PA、PB，
在Rt△PDA中，
∵∠PAB=∠APD=45°，
∴PD=AD，
設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為（x，x+1），
∵點(diǎn)P在拋物線上，
∴，即x²+（1-2m）x-2m=0，
解得x₁=-1，x₂=2m，
∴P₁（2m，2m+1），P₂（-1，0）（不合題意，舍去），
此進(jìn)AP=PD=（2m+1），又由，得AC•AP=AB²，
則（2m+1）=（m+1）²，整理，得m²-2m-1=0，
解得m₁=，m₂=（舍去），
m的值是．
分析：（1）本題需先根據(jù)點(diǎn)（一1，0）、（m，0）在拋物線y=ax²+bx-1上，把它代入求出a、b的值，即可求出解析式．
（2）本題需先令x=0，得出y的值，得出OA=OC，從而求出∠OAC、∠BMC、∠OAC的度數(shù)，再根據(jù)BC的長(zhǎng)，求出MB、MC的長(zhǎng)，即可求出扇形MBC（陰影部分）的面積S．
（3）本題需先根據(jù)△ABC∽△APB，求出∠PAB、∠BAC的度數(shù)，再過點(diǎn)P作PD⊥x軸，連接PA、PB，得出PD=AD，設(shè)出點(diǎn)P坐標(biāo)，得出解析式，求出x₁、x₂的值，再求出P₁與P₂的坐標(biāo)，即可求出AC•AP=AB²解出m的值．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了二次函數(shù)的綜合問題，綜合應(yīng)用二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，能根據(jù)已知條件和圖形列出式子求出答案是本題的關(guān)鍵．