Question

（1）△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，若∠C=90°，如圖①根據(jù)勾股定理，則a²+b²=c²，若△ABC不是直角三角形，如圖②和圖③，請(qǐng)你類比勾股定理，試猜想a²+b²與c²的關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

（2）利用（1）的結(jié)論解答如下問題：
銳角△ABC中，兩邊a=1，b=3，求第三邊的變化范圍．

Answer 1

解：（1）若△ABC是銳角三角形，則有a²+b²＞c²；若△ABC是鈍角三角形，∠C為鈍角，則有a²+b²＜c²．理由如下：
當(dāng)△ABC是銳角三角形時(shí)，如圖②，
過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC，垂足為D，設(shè)CD為x，則有BD=a-x，
根據(jù)勾股定理，得b²-x²=AD²=c²-（a-x）²，
即b²-x²=c²-a²+2ax-x²，
∴a²+b²=c²+2ax，
∵a＞0，x＞0，
∴2ax＞0．
∴a²+b²＞c²；
當(dāng)△ABC是鈍角三角形時(shí)，如圖③，
過(guò)B作BD⊥AC，交AC的延長(zhǎng)線于D．
設(shè)CD為x，則有BD²=a²-x²
根據(jù)勾股定理，得（b+x）²+a²-x²=c²．
即a²+b²+2bx=c²．
∵b＞0，x＞0，
∴2bx＞0，
∴a²+b²＜c²；

（2）由（1）知，若△ABC是銳角三角形，有a²+b²＞c²；
∵a=1，b=3，
∴c＜=，
又∵2＜c＜4，
∴2＜c＜．
分析：（1）圖②中，△ABC是銳角三角形，過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC，垂足為D，設(shè)CD為x，根據(jù)AD不變由勾股定理得出等式b²-x²=AD²=c²-（a-x）²，化簡(jiǎn)得出a²+b²＞c²；圖③中，△ABC是鈍角三角形，過(guò)B作BD⊥AC，交AC的延長(zhǎng)線于D．設(shè)CD為x，根據(jù)勾股定理，得（b+x）²+a²-x²=c²．化簡(jiǎn)得出a²+b²＜c²；
（2）利用（1）的結(jié)論a²+b²＞c²以及三角形三邊關(guān)系定理即可求解．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了勾股定理的運(yùn)用．通過(guò)作輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．