(2012•銅仁地區(qū))如圖已知:直線y=-x+3交x軸于點(diǎn)A,交y軸于點(diǎn)B,拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過A、B、C(1,0)三點(diǎn).
(1)求拋物線的解析式;
(2)若點(diǎn)D的坐標(biāo)為(-1,0),在直線y=-x+3上有一點(diǎn)P,使△ABO與△ADP相似,求出點(diǎn)P的坐標(biāo);
(3)在(2)的條件下,在x軸下方的拋物線上,是否存在點(diǎn)E,使△ADE的面積等于四邊形APCE的面積?如果存在,請(qǐng)求出點(diǎn)E的坐標(biāo);如果不存在,請(qǐng)說明理由.
分析:(1)首先確定A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo),然后利用待定系數(shù)法求拋物線的解析式;
(2)△ABO為等腰直角三角形,若△ADP與之相似,則有兩種情形,如答圖1所示.利用相似三角形的性質(zhì)分別求解,避免遺漏;
(3)如答圖2所示,分別計(jì)算△ADE的面積與四邊形APCE的面積,得到面積的表達(dá)式.利用面積的相等關(guān)系得到一元二次方程,將點(diǎn)E是否存在的問題轉(zhuǎn)化為一元二次方程是否有實(shí)數(shù)根的問題,從而解決問題.需要注意根據(jù)(2)中P點(diǎn)的不同位置分別進(jìn)行計(jì)算,在這兩種情況下,一元二次方程的判別式均小于0,即所求的E點(diǎn)均不存在.
解答:解:(1)由題意得,A(3,0),B(0,3)
∵拋物線經(jīng)過A、B、C三點(diǎn),
∴把A(3,0),B(0,3),C(1,0)三點(diǎn)分別代入y=ax2+bx+c,
得方程組
9a+3b+c=0
c=3
a+b+c=0
…3分
解得:
a=1
b=-4
c=3

∴拋物線的解析式為y=x2-4x+3             …5分

(2)由題意可得:△ABO為等腰三角形,如答圖1所示,
若△ABO∽△AP1D,則
AO
AD
=
OB
DP1

∴DP1=AD=4,
∴P1(-1,4)…7分
若△ABO∽△ADP2 ,過點(diǎn)P2作P2 M⊥x軸于M,AD=4,
∵△ABO為等腰三角形,
∴△ADP2是等腰三角形,
由三線合一可得:DM=AM=2=P2M,即點(diǎn)M與點(diǎn)C重合,
∴P2(1,2)…10分
綜上所述,點(diǎn)P的坐標(biāo)為P1(-1,4),P2(1,2);

(3)不存在.
理由:如答圖2,設(shè)點(diǎn)E(x,y),則
S△ADE=
1
2
•AD•|y|=2|y|

①當(dāng)P1(-1,4)時(shí),
S四邊形AP1CE=S△ACP1+S△ACE=
1
2
×2×4+
1
2
×2•|y|
=4+|y|…11分
∴2|y|=4+|y|,
∴|y|=4
∵點(diǎn)E在x軸下方,
∴y=-4,代入得:x2-4x+3=-4,即x2-4x+7=0,
∵△=(-4)2-4×7=-12<0
∴此方程無解…12分
②當(dāng)P2(1,2)時(shí),
S四邊形AP2CE=S△ACP2+S△ACE=
1
2
×2×2+
1
2
×2•|y|
=2+|y|,
∴2|y|=2+|y|,
∴|y|=2
∵點(diǎn)E在x軸下方,
∴y=-2,代入得:x2-4x+3=-2,即x2-4x+5=0,
∵△=(-4)2-4×5=-4<0
∴此方程無解
綜上所述,在x軸下方的拋物線上不存在這樣的點(diǎn)E.…14分
點(diǎn)評(píng):本題重點(diǎn)考查了拋物線的相關(guān)性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)、圖形面積的計(jì)算以及一元二次方程根的判別式,涉及的知識(shí)點(diǎn)較多.注意在(2)(3)問中,均有兩種情形,需要分類討論計(jì)算,避免漏解;(3)問中是否存在點(diǎn)E的問題,轉(zhuǎn)化為一元二次方程實(shí)數(shù)根個(gè)數(shù)的問題,需要注意這種解題方法.作為中考?jí)狠S題,本題綜合性強(qiáng),難度較大,有利于提高學(xué)生的綜合解題能力,是一道不錯(cuò)的題目.
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