Question

賈憲三角如圖，最初于11世紀被發(fā)現(xiàn)，原圖載于我國北宋時期數(shù)學(xué)家賈憲的著作中．這一成果比國外領(lǐng)先600年！這個三角形的構(gòu)造法則是：兩腰都是1，其余每個數(shù)為其上方左右兩數(shù)之和．它給出（a+b）ⁿ（n為正整數(shù)）展開式（按a的次數(shù)由大到小的順序排列）的系數(shù)規(guī)律．例如，在三角形中第三行的三個數(shù)1，2，1，恰好對應(yīng)著（a+b）²=a²+2ab+b²的展開式中的系數(shù)；第四行的四個數(shù)1，3，3，1，恰好對應(yīng)著（a+b）³=a³+3a²b+3ab²+b³展開式中的系數(shù)；等等．

（1）請根據(jù)賈憲三角直接寫出（a+b）⁴、（a+b）⁵的展開式：（a+b）⁴=______．（a+b）⁵=______．
（2）請用多項式乘法或所學(xué)的乘法公式驗證你寫出的（a+b）⁴的結(jié)果．

Answer 1

解：（1）（a+b）⁴=a⁴+4a³b+6a²b²+4ab³+b⁴；
（a+b）⁵=a⁵+5a⁴b+10a³b²+10a²b³+5ab⁴+b⁵；
（2）（a+b）⁴=（a+b）²•（a+b）²
=（a²+b²+2ab）（a²+b²+2ab）
=a⁴+a²b²+2a³b+a²b²+b⁴+2ab³+2a³b+2ab³+4a²b²
=a⁴+4a³b+6a²b²+4ab³+b⁴．
故答案為：（1）a⁴+4a³b+6a²b²+4ab³+b⁴；a⁵+5a⁴b+10a³b²+10a²b³+5ab⁴+b⁵
分析：（1）根據(jù)系數(shù)規(guī)律，由題意展開即可；
（2）利用多項式乘以多項式，以及完全平方公式計算，即可得到結(jié)果．
點評：此題考查了整式的混合運算，熟練掌握運算法則是解本題的關(guān)鍵．