Question

如圖，直線y=kx-1與x軸、y軸分別交于B、C兩點(diǎn)，tan∠OCB=

1

2

．
（1）求B點(diǎn)的坐標(biāo)和k的值；
（2）若點(diǎn)A（x，y）是第一象限內(nèi)的直線y=kx-1上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．當(dāng)點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)過程中，試寫出△AOB的面積S與x的函數(shù)關(guān)系式；
（3）探索：在（2）的條件下：
①當(dāng)點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，△AOB的面積是

1

4

；
②在①成立的情況下，x軸上是否存在一點(diǎn)P，使△POA是等腰三角形？若存在，請寫出滿足條件的所有P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：本題考查一次函數(shù)的綜合應(yīng)用，在（1）中需根據(jù)OC=1求出B點(diǎn)坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求出k值；（2）中利用把△AOB的面積表示出來，在根據(jù)x與y之間的關(guān)系代入整理；（3）代入求值即可，同時(shí)在查找等腰三角形的滿足P點(diǎn)的坐標(biāo)時(shí)要根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)查找．

解答：解：（1）∵y=kx-1與y軸相交于點(diǎn)C，
∴OC=1；
∵tan∠OCB=

1

2

=

OB

OC

，
∴OB=

1

2

；
∴B點(diǎn)坐標(biāo)為：(

1

2

，0)；
把B點(diǎn)坐標(biāo)為：(

1

2

，0)代入y=kx-1得：k=2；

（2）∵S=

1

2

•OB•|y|，y=kx-1，
∴S=

1

2

×

1

2

（2x-1）；
∴S=

1

2

x-

1

4

；

（3）①當(dāng)S=

1

4

時(shí)，

1

2

x-

1

4

=

1

4

，
∴x=1，y=2x-1=1；
∴A點(diǎn)坐標(biāo)為（1，1）時(shí)，△AOB的面積為

1

4

；
②存在．
滿足條件的所有P點(diǎn)坐標(biāo)為：
P₁（1，0），P₂（2，0），P₃（

2

，0），P₄（-

2

，0）．（12分）
（注：每題只給出一種解法，如有不同解法請參照評分意見給分）

點(diǎn)評：本題是函數(shù)與三角形相結(jié)合的問題，在圖形中滲透運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)是中考中經(jīng)常出現(xiàn)的問題．